Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4767 / 2722
↖ ↑ ↗
← N 81.669241°
W127.628174°		 ← 177 m → N 81.669241°
W127.617187°		 →
↑
177.05 m
↓
↑
177.05 m
↓
N 81.667649°
W127.628174°		 ← 177.03 m →
31 341 m²		 N 81.667649°
W127.617187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145492553710938 y=0.0830841064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145492553710938 × 215)
    floor (0.145492553710938 × 32768)
    floor (4767.5)     		tx = 4767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830841064453125 × 215)
    floor (0.0830841064453125 × 32768)
    floor (2722.5)     		ty = 2722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4767 / 2722 ti = "15/4767/2722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4767/2722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4767 ÷ 215
    4767 ÷ 32768     		x = 0.145477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2722 ÷ 215
    2722 ÷ 32768     		y = 0.08306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.70904541015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22753185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08306884765625 × 2 - 1) × π
    0.8338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61965569043683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22753185} λ = -2.22753185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61965569043683))-π/2
    2×atan(13.7309950581757)-π/2
    2×1.49809674227725-π/2
    2.9961934845545-1.57079632675     		φ = 1.42539716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22753185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.628174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42539716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.669241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4767 KachelY 2722 -2.22753185 1.42539716 -127.628174 81.669241
    Oben rechts KachelX + 1 4768 KachelY 2722 -2.22734010 1.42539716 -127.617187 81.669241
    Unten links KachelX 4767 KachelY + 1 2723 -2.22753185 1.42536937 -127.628174 81.667649
    Unten rechts KachelX + 1 4768 KachelY + 1 2723 -2.22734010 1.42536937 -127.617187 81.667649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42539716-1.42536937) × R
    2.7789999999861e-05 × 6371000     		dl = 177.050089999114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42539716-1.42536937) × R
    2.7789999999861e-05 × 6371000     		dr = 177.050089999114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22753185--2.22734010) × cos(1.42539716) × R
    0.000191749999999935 × 0.144887396089728 × 6371000     		do = 177.000129893449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22753185--2.22734010) × cos(1.42536937) × R
    0.000191749999999935 × 0.144914892797879 × 6371000     		du = 177.033720951371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42539716)-sin(1.42536937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144887396089728-0.144914892797879)×R²
    abs(-2.22734010--2.22753185)×2.74967081505539e-05×R²
    0.000191749999999935×2.74967081505539e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.74967081505539e-05×40589641000000     		ar = 31340.8625801376m²