Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47664 / 54961
↖ ↑ ↗
← N 27.875500°
W 49.086914°		 ← 269.99 m → N 27.875500°
W 49.084167°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
N 27.873073°
W 49.086914°		 ← 269.99 m →
72 881 m²		 N 27.873073°
W 49.084167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363651275634766 y=0.419322967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363651275634766 × 217)
    floor (0.363651275634766 × 131072)
    floor (47664.5)     		tx = 47664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419322967529297 × 217)
    floor (0.419322967529297 × 131072)
    floor (54961.5)     		ty = 54961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47664 / 54961 ti = "17/47664/54961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47664/54961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47664 ÷ 217
    47664 ÷ 131072     		x = 0.3636474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54961 ÷ 217
    54961 ÷ 131072     		y = 0.419319152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419319152832031 × 2 - 1) × π
    0.161361694335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.506932713482094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85672827} λ = -0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506932713482094))-π/2
    2×atan(1.66019109544704)-π/2
    2×1.02865779537139-π/2
    2.05731559074279-1.57079632675     		φ = 0.48651926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48651926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.875500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47664 KachelY 54961 -0.85672827 0.48651926 -49.086914 27.875500
    Oben rechts KachelX + 1 47665 KachelY 54961 -0.85668033 0.48651926 -49.084167 27.875500
    Unten links KachelX 47664 KachelY + 1 54962 -0.85672827 0.48647689 -49.086914 27.873073
    Unten rechts KachelX + 1 47665 KachelY + 1 54962 -0.85668033 0.48647689 -49.084167 27.873073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48651926-0.48647689) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48651926-0.48647689) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85672827--0.85668033) × cos(0.48651926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883965636687362 × 6371000     		do = 269.985858719632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85672827--0.85668033) × cos(0.48647689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883985446066724 × 6371000     		du = 269.991909013982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48651926)-sin(0.48647689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883965636687362-0.883985446066724)×R²
    abs(-0.85668033--0.85672827)×1.98093793623011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98093793623011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98093793623011e-05×40589641000000     		ar = 72880.6022300522m²