Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4766 / 2721
↖ ↑ ↗
← N 81.670833°
W127.639160°		 ← 176.97 m → N 81.670833°
W127.628174°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
N 81.669241°
W127.639160°		 ← 177 m →
31 324 m²		 N 81.669241°
W127.628174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145462036132812 y=0.0830535888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145462036132812 × 215)
    floor (0.145462036132812 × 32768)
    floor (4766.5)     		tx = 4766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830535888671875 × 215)
    floor (0.0830535888671875 × 32768)
    floor (2721.5)     		ty = 2721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4766 / 2721 ti = "15/4766/2721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4766/2721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4766 ÷ 215
    4766 ÷ 32768     		x = 0.14544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2721 ÷ 215
    2721 ÷ 32768     		y = 0.083038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.7091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22772360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083038330078125 × 2 - 1) × π
    0.83392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61984743803531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22772360} λ = -2.22772360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61984743803531))-π/2
    2×atan(13.7336281959437)-π/2
    2×1.49811063186495-π/2
    2.9962212637299-1.57079632675     		φ = 1.42542494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22772360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.639160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42542494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.670833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4766 KachelY 2721 -2.22772360 1.42542494 -127.639160 81.670833
    Oben rechts KachelX + 1 4767 KachelY 2721 -2.22753185 1.42542494 -127.628174 81.670833
    Unten links KachelX 4766 KachelY + 1 2722 -2.22772360 1.42539716 -127.639160 81.669241
    Unten rechts KachelX + 1 4767 KachelY + 1 2722 -2.22753185 1.42539716 -127.628174 81.669241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42542494-1.42539716) × R
    2.77800000001438e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42542494-1.42539716) × R
    2.77800000001438e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22772360--2.22753185) × cos(1.42542494) × R
    0.000191749999999935 × 0.144859909164205 × 6371000     		do = 176.966550786367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22772360--2.22753185) × cos(1.42539716) × R
    0.000191749999999935 × 0.144887396089728 × 6371000     		du = 177.000129893449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42542494)-sin(1.42539716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144859909164205-0.144887396089728)×R²
    abs(-2.22753185--2.22772360)×2.74869255233456e-05×R²
    0.000191749999999935×2.74869255233456e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.74869255233456e-05×40589641000000     		ar = 31323.6407288518m²