Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4766 / 2718
↖ ↑ ↗
← N 81.675606°
W127.639160°		 ← 176.87 m → N 81.675606°
W127.628174°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
N 81.674015°
W127.639160°		 ← 176.90 m →
31 283 m²		 N 81.674015°
W127.628174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145462036132812 y=0.0829620361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145462036132812 × 215)
    floor (0.145462036132812 × 32768)
    floor (4766.5)     		tx = 4766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0829620361328125 × 215)
    floor (0.0829620361328125 × 32768)
    floor (2718.5)     		ty = 2718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4766 / 2718 ti = "15/4766/2718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4766/2718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4766 ÷ 215
    4766 ÷ 32768     		x = 0.14544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2718 ÷ 215
    2718 ÷ 32768     		y = 0.08294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.7091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22772360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08294677734375 × 2 - 1) × π
    0.8341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62042268083075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22772360} λ = -2.22772360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62042268083075))-π/2
    2×atan(13.7415306393126)-π/2
    2×1.49815228482028-π/2
    2.99630456964056-1.57079632675     		φ = 1.42550824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22772360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.639160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42550824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.675606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4766 KachelY 2718 -2.22772360 1.42550824 -127.639160 81.675606
    Oben rechts KachelX + 1 4767 KachelY 2718 -2.22753185 1.42550824 -127.628174 81.675606
    Unten links KachelX 4766 KachelY + 1 2719 -2.22772360 1.42548048 -127.639160 81.674015
    Unten rechts KachelX + 1 4767 KachelY + 1 2719 -2.22753185 1.42548048 -127.628174 81.674015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42550824-1.42548048) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dl = 176.858960000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42550824-1.42548048) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dr = 176.858960000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22772360--2.22753185) × cos(1.42550824) × R
    0.000191749999999935 × 0.144777487295535 × 6371000     		do = 176.865860996542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22772360--2.22753185) × cos(1.42548048) × R
    0.000191749999999935 × 0.144804954767007 × 6371000     		du = 176.89941633779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42550824)-sin(1.42548048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144777487295535-0.144804954767007)×R²
    abs(-2.22753185--2.22772360)×2.74674714718648e-05×R²
    0.000191749999999935×2.74674714718648e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.74674714718648e-05×40589641000000     		ar = 31283.279518558m²