Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47658 / 54954
↖ ↑ ↗
← N 27.892494°
W 49.103393°		 ← 269.94 m → N 27.892494°
W 49.100647°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
N 27.890067°
W 49.103393°		 ← 269.95 m →
72 869 m²		 N 27.890067°
W 49.100647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363605499267578 y=0.419269561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363605499267578 × 217)
    floor (0.363605499267578 × 131072)
    floor (47658.5)     		tx = 47658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419269561767578 × 217)
    floor (0.419269561767578 × 131072)
    floor (54954.5)     		ty = 54954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47658 / 54954 ti = "17/47658/54954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47658/54954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47658 ÷ 217
    47658 ÷ 131072     		x = 0.363601684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54954 ÷ 217
    54954 ÷ 131072     		y = 0.419265747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363601684570312 × 2 - 1) × π
    -0.272796630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85701589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419265747070312 × 2 - 1) × π
    0.161468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507268271779434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85701589} λ = -0.85701589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507268271779434))-π/2
    2×atan(1.66074827982298)-π/2
    2×1.02880609473717-π/2
    2.05761218947434-1.57079632675     		φ = 0.48681586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85701589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.103393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48681586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.892494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47658 KachelY 54954 -0.85701589 0.48681586 -49.103393 27.892494
    Oben rechts KachelX + 1 47659 KachelY 54954 -0.85696795 0.48681586 -49.100647 27.892494
    Unten links KachelX 47658 KachelY + 1 54955 -0.85701589 0.48677349 -49.103393 27.890067
    Unten rechts KachelX + 1 47659 KachelY + 1 54955 -0.85696795 0.48677349 -49.100647 27.890067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48681586-0.48677349) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48681586-0.48677349) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85701589--0.85696795) × cos(0.48681586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883826921922196 × 6371000     		do = 269.943491659832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85701589--0.85696795) × cos(0.48677349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883846742409556 × 6371000     		du = 269.949545346851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48681586)-sin(0.48677349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883826921922196-0.883846742409556)×R²
    abs(-0.85696795--0.85701589)×1.9820487360156e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9820487360156e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9820487360156e-05×40589641000000     		ar = 72869.1661548301m²