Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47656 / 54984
↖ ↑ ↗
← N 27.819645°
W 49.108887°		 ← 270.12 m → N 27.819645°
W 49.106140°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
N 27.817216°
W 49.108887°		 ← 270.13 m →
72 970 m²		 N 27.817216°
W 49.106140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363590240478516 y=0.419498443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363590240478516 × 217)
    floor (0.363590240478516 × 131072)
    floor (47656.5)     		tx = 47656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419498443603516 × 217)
    floor (0.419498443603516 × 131072)
    floor (54984.5)     		ty = 54984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47656 / 54984 ti = "17/47656/54984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47656/54984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47656 ÷ 217
    47656 ÷ 131072     		x = 0.36358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54984 ÷ 217
    54984 ÷ 131072     		y = 0.41949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.2728271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85711177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41949462890625 × 2 - 1) × π
    0.1610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505830164790833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85711177} λ = -0.85711177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505830164790833))-π/2
    2×atan(1.65836166263221)-π/2
    2×1.02817036224688-π/2
    2.05634072449377-1.57079632675     		φ = 0.48554440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85711177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.108887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48554440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.819645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47656 KachelY 54984 -0.85711177 0.48554440 -49.108887 27.819645
    Oben rechts KachelX + 1 47657 KachelY 54984 -0.85706383 0.48554440 -49.106140 27.819645
    Unten links KachelX 47656 KachelY + 1 54985 -0.85711177 0.48550200 -49.108887 27.817216
    Unten rechts KachelX + 1 47657 KachelY + 1 54985 -0.85706383 0.48550200 -49.106140 27.817216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48554440-0.48550200) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dl = 270.130399999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48554440-0.48550200) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dr = 270.130399999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85711177--0.85706383) × cos(0.48554440) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.884421014194026 × 6371000     		do = 270.124942732209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85711177--0.85706383) × cos(0.48550200) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.884440801051104 × 6371000     		du = 270.130986147675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48554440)-sin(0.48550200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884421014194026-0.884440801051104)×R²
    abs(-0.85706383--0.85711177)×1.97868570787074e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.97868570787074e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.97868570787074e-05×40589641000000     		ar = 72969.7750963362m²