Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47652 / 54948
↖ ↑ ↗
← N 27.907058°
W 49.119873°		 ← 269.85 m → N 27.907058°
W 49.117127°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
N 27.904631°
W 49.119873°		 ← 269.86 m →
72 827 m²		 N 27.904631°
W 49.117127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363559722900391 y=0.419223785400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363559722900391 × 217)
    floor (0.363559722900391 × 131072)
    floor (47652.5)     		tx = 47652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419223785400391 × 217)
    floor (0.419223785400391 × 131072)
    floor (54948.5)     		ty = 54948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47652 / 54948 ti = "17/47652/54948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47652/54948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47652 ÷ 217
    47652 ÷ 131072     		x = 0.363555908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54948 ÷ 217
    54948 ÷ 131072     		y = 0.419219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363555908203125 × 2 - 1) × π
    -0.27288818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85730351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419219970703125 × 2 - 1) × π
    0.16156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507555893177155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85730351} λ = -0.85730351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507555893177155))-π/2
    2×atan(1.66122601526466)-π/2
    2×1.0289331899522-π/2
    2.0578663799044-1.57079632675     		φ = 0.48707005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85730351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.119873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48707005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.907058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47652 KachelY 54948 -0.85730351 0.48707005 -49.119873 27.907058
    Oben rechts KachelX + 1 47653 KachelY 54948 -0.85725558 0.48707005 -49.117127 27.907058
    Unten links KachelX 47652 KachelY + 1 54949 -0.85730351 0.48702769 -49.119873 27.904631
    Unten rechts KachelX + 1 47653 KachelY + 1 54949 -0.85725558 0.48702769 -49.117127 27.904631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48707005-0.48702769) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dl = 269.875559999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48707005-0.48702769) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dr = 269.875559999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85730351--0.85725558) × cos(0.48707005) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88370797972056 × 6371000     		do = 269.850862614834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85730351--0.85725558) × cos(0.48702769) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883727805046217 × 6371000     		du = 269.856916516522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48707005)-sin(0.48702769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88370797972056-0.883727805046217)×R²
    abs(-0.85725558--0.85730351)×1.98253256568082e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98253256568082e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98253256568082e-05×40589641000000     		ar = 72826.9695755291m²