Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47650 / 55009
↖ ↑ ↗
← N 27.758899°
W 49.125366°		 ← 270.28 m → N 27.758899°
W 49.122620°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
N 27.756469°
W 49.125366°		 ← 270.28 m →
73 045 m²		 N 27.756469°
W 49.122620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363544464111328 y=0.419689178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363544464111328 × 217)
    floor (0.363544464111328 × 131072)
    floor (47650.5)     		tx = 47650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419689178466797 × 217)
    floor (0.419689178466797 × 131072)
    floor (55009.5)     		ty = 55009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47650 / 55009 ti = "17/47650/55009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47650/55009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47650 ÷ 217
    47650 ÷ 131072     		x = 0.363540649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55009 ÷ 217
    55009 ÷ 131072     		y = 0.419685363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363540649414062 × 2 - 1) × π
    -0.272918701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85739939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419685363769531 × 2 - 1) × π
    0.160629272460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.504631742300331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85739939} λ = -0.85739939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504631742300331))-π/2
    2×atan(1.65637543512591)-π/2
    2×1.02764025910095-π/2
    2.05528051820189-1.57079632675     		φ = 0.48448419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85739939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.125366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48448419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.758899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47650 KachelY 55009 -0.85739939 0.48448419 -49.125366 27.758899
    Oben rechts KachelX + 1 47651 KachelY 55009 -0.85735145 0.48448419 -49.122620 27.758899
    Unten links KachelX 47650 KachelY + 1 55010 -0.85739939 0.48444177 -49.125366 27.756469
    Unten rechts KachelX + 1 47651 KachelY + 1 55010 -0.85735145 0.48444177 -49.122620 27.756469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48448419-0.48444177) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48448419-0.48444177) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85739939--0.85735145) × cos(0.48448419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884915306343466 × 6371000     		do = 270.275912277102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85739939--0.85735145) × cos(0.48444177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884935062745982 × 6371000     		du = 270.281946390961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48448419)-sin(0.48444177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884915306343466-0.884935062745982)×R²
    abs(-0.85735145--0.85739939)×1.97564025167241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97564025167241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97564025167241e-05×40589641000000     		ar = 73044.9942446324m²