Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4765 / 3738
↖ ↑ ↗
← N 15.538376°
E 29.399414°		 ← 4 707.90 m → N 15.538376°
E 29.443359°		 →
↑
4 708.36 m
↓
↑
4 708.36 m
↓
N 15.496033°
E 29.399414°		 ← 4 708.86 m →
22 168 755 m²		 N 15.496033°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58172607421875 y=0.45635986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58172607421875 × 213)
    floor (0.58172607421875 × 8192)
    floor (4765.5)     		tx = 4765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45635986328125 × 213)
    floor (0.45635986328125 × 8192)
    floor (3738.5)     		ty = 3738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4765 / 3738 ti = "13/4765/3738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4765/3738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4765 ÷ 213
    4765 ÷ 8192     		x = 0.5816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3738 ÷ 213
    3738 ÷ 8192     		y = 0.456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    0.08740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.274582561023682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51311657} λ = 0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.274582561023682))-π/2
    2×atan(1.31598121834068)-π/2
    2×0.920996073556878-π/2
    1.84199214711376-1.57079632675     		φ = 0.27119582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27119582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.538376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4765 KachelY 3738 0.51311657 0.27119582 29.399414 15.538376
    Oben rechts KachelX + 1 4766 KachelY 3738 0.51388356 0.27119582 29.443359 15.538376
    Unten links KachelX 4765 KachelY + 1 3739 0.51311657 0.27045679 29.399414 15.496033
    Unten rechts KachelX + 1 4766 KachelY + 1 3739 0.51388356 0.27045679 29.443359 15.496033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27119582-0.27045679) × R
    0.000739029999999974 × 6371000     		dl = 4708.36012999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27119582-0.27045679) × R
    0.000739029999999974 × 6371000     		dr = 4708.36012999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51311657-0.51388356) × cos(0.27119582) × R
    0.000766990000000023 × 0.96345124456618 × 6371000     		do = 4707.89804181493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51311657-0.51388356) × cos(0.27045679) × R
    0.000766990000000023 × 0.963648955568342 × 6371000     		du = 4708.86415530035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27119582)-sin(0.27045679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96345124456618-0.963648955568342)×R²
    abs(0.51388356-0.51311657)×0.000197711002162371×R²
    0.000766990000000023×0.000197711002162371×6371000²
    0.000766990000000023×0.000197711002162371×40589641000000     		ar = 22168754.8502771m²