Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4765 / 3649
↖ ↑ ↗
← N 19.269666°
E 29.399414°		 ← 4 612.73 m → N 19.269666°
E 29.443359°		 →
↑
4 613.37 m
↓
↑
4 613.37 m
↓
N 19.228177°
E 29.399414°		 ← 4 613.90 m →
21 282 922 m²		 N 19.228177°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58172607421875 y=0.44549560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58172607421875 × 213)
    floor (0.58172607421875 × 8192)
    floor (4765.5)     		tx = 4765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44549560546875 × 213)
    floor (0.44549560546875 × 8192)
    floor (3649.5)     		ty = 3649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4765 / 3649 ti = "13/4765/3649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4765/3649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4765 ÷ 213
    4765 ÷ 8192     		x = 0.5816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3649 ÷ 213
    3649 ÷ 8192     		y = 0.4454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    0.109130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.342844706082642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51311657} λ = 0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342844706082642))-π/2
    2×atan(1.40894994358021)-π/2
    2×0.953557715983451-π/2
    1.9071154319669-1.57079632675     		φ = 0.33631911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33631911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.269666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4765 KachelY 3649 0.51311657 0.33631911 29.399414 19.269666
    Oben rechts KachelX + 1 4766 KachelY 3649 0.51388356 0.33631911 29.443359 19.269666
    Unten links KachelX 4765 KachelY + 1 3650 0.51311657 0.33559499 29.399414 19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 4766 KachelY + 1 3650 0.51388356 0.33559499 29.443359 19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33631911-0.33559499) × R
    0.000724119999999995 × 6371000     		dl = 4613.36851999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33631911-0.33559499) × R
    0.000724119999999995 × 6371000     		dr = 4613.36851999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51311657-0.51388356) × cos(0.33631911) × R
    0.000766990000000023 × 0.943975805397719 × 6371000     		do = 4612.73143899844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51311657-0.51388356) × cos(0.33559499) × R
    0.000766990000000023 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 4613.89795592526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33631911)-sin(0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943975805397719-0.944214528108996)×R²
    abs(0.51388356-0.51311657)×0.000238722711276673×R²
    0.000766990000000023×0.000238722711276673×6371000²
    0.000766990000000023×0.000238722711276673×40589641000000     		ar = 21282921.7280979m²