Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4765 / 2723
↖ ↑ ↗
← N 81.667649°
W127.650147°		 ← 177.03 m → N 81.667649°
W127.639160°		 →
↑
177.05 m
↓
↑
177.05 m
↓
N 81.666057°
W127.650147°		 ← 177.07 m →
31 347 m²		 N 81.666057°
W127.639160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145431518554688 y=0.0831146240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145431518554688 × 215)
    floor (0.145431518554688 × 32768)
    floor (4765.5)     		tx = 4765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0831146240234375 × 215)
    floor (0.0831146240234375 × 32768)
    floor (2723.5)     		ty = 2723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4765 / 2723 ti = "15/4765/2723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4765/2723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4765 ÷ 215
    4765 ÷ 32768     		x = 0.145416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2723 ÷ 215
    2723 ÷ 32768     		y = 0.083099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.70916748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22791535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083099365234375 × 2 - 1) × π
    0.83380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61946394283835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22791535} λ = -2.22791535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61946394283835))-π/2
    2×atan(13.7283624252572)-π/2
    2×1.49808285005411-π/2
    2.99616570010822-1.57079632675     		φ = 1.42536937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22791535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.650147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42536937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.667649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4765 KachelY 2723 -2.22791535 1.42536937 -127.650147 81.667649
    Oben rechts KachelX + 1 4766 KachelY 2723 -2.22772360 1.42536937 -127.639160 81.667649
    Unten links KachelX 4765 KachelY + 1 2724 -2.22791535 1.42534158 -127.650147 81.666057
    Unten rechts KachelX + 1 4766 KachelY + 1 2724 -2.22772360 1.42534158 -127.639160 81.666057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42536937-1.42534158) × R
    2.7790000000083e-05 × 6371000     		dl = 177.050090000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42536937-1.42534158) × R
    2.7790000000083e-05 × 6371000     		dr = 177.050090000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22791535--2.22772360) × cos(1.42536937) × R
    0.000191749999999935 × 0.144914892797879 × 6371000     		do = 177.033720951371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22791535--2.22772360) × cos(1.42534158) × R
    0.000191749999999935 × 0.144942389394114 × 6371000     		du = 177.067311872574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42536937)-sin(1.42534158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144914892797879-0.144942389394114)×R²
    abs(-2.22772360--2.22791535)×2.74965962353269e-05×R²
    0.000191749999999935×2.74965962353269e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.74965962353269e-05×40589641000000     		ar = 31346.8098671191m²