Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47638 / 54902
↖ ↑ ↗
← N 28.018651°
W 49.158325°		 ← 269.63 m → N 28.018651°
W 49.155578°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
N 28.016226°
W 49.158325°		 ← 269.63 m →
72 698 m²		 N 28.016226°
W 49.155578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363452911376953 y=0.418872833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363452911376953 × 217)
    floor (0.363452911376953 × 131072)
    floor (47638.5)     		tx = 47638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418872833251953 × 217)
    floor (0.418872833251953 × 131072)
    floor (54902.5)     		ty = 54902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47638 / 54902 ti = "17/47638/54902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47638/54902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47638 ÷ 217
    47638 ÷ 131072     		x = 0.363449096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54902 ÷ 217
    54902 ÷ 131072     		y = 0.418869018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363449096679688 × 2 - 1) × π
    -0.273101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85797463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418869018554688 × 2 - 1) × π
    0.162261962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.509760990559677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85797463} λ = -0.85797463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509760990559677))-π/2
    2×atan(1.66489322219092)-π/2
    2×1.02990701779482-π/2
    2.05981403558964-1.57079632675     		φ = 0.48901771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85797463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.158325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48901771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.018651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47638 KachelY 54902 -0.85797463 0.48901771 -49.158325 28.018651
    Oben rechts KachelX + 1 47639 KachelY 54902 -0.85792669 0.48901771 -49.155578 28.018651
    Unten links KachelX 47638 KachelY + 1 54903 -0.85797463 0.48897539 -49.158325 28.016226
    Unten rechts KachelX + 1 47639 KachelY + 1 54903 -0.85792669 0.48897539 -49.155578 28.016226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48901771-0.48897539) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48901771-0.48897539) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85797463--0.85792669) × cos(0.48901771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88279472396082 × 6371000     		do = 269.628231833652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85797463--0.85792669) × cos(0.48897539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882814603369234 × 6371000     		du = 269.634303516678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48901771)-sin(0.48897539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88279472396082-0.882814603369234)×R²
    abs(-0.85792669--0.85797463)×1.98794084141918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98794084141918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98794084141918e-05×40589641000000     		ar = 72698.1765359189m²