Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47635 / 54963
↖ ↑ ↗
← N 27.870644°
W 49.166565°		 ← 270 m → N 27.870644°
W 49.163818°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
N 27.868217°
W 49.166565°		 ← 270 m →
72 884 m²		 N 27.868217°
W 49.163818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363430023193359 y=0.419338226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363430023193359 × 217)
    floor (0.363430023193359 × 131072)
    floor (47635.5)     		tx = 47635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419338226318359 × 217)
    floor (0.419338226318359 × 131072)
    floor (54963.5)     		ty = 54963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47635 / 54963 ti = "17/47635/54963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47635/54963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47635 ÷ 217
    47635 ÷ 131072     		x = 0.363426208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54963 ÷ 217
    54963 ÷ 131072     		y = 0.419334411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363426208496094 × 2 - 1) × π
    -0.273147583007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.85811844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419334411621094 × 2 - 1) × π
    0.161331176757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.506836839682854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85811844} λ = -0.85811844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506836839682854))-π/2
    2×atan(1.66003193424907)-π/2
    2×1.02861541984978-π/2
    2.05723083969957-1.57079632675     		φ = 0.48643451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85811844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.166565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48643451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.870644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47635 KachelY 54963 -0.85811844 0.48643451 -49.166565 27.870644
    Oben rechts KachelX + 1 47636 KachelY 54963 -0.85807050 0.48643451 -49.163818 27.870644
    Unten links KachelX 47635 KachelY + 1 54964 -0.85811844 0.48639214 -49.166565 27.868217
    Unten rechts KachelX + 1 47636 KachelY + 1 54964 -0.85807050 0.48639214 -49.163818 27.868217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48643451-0.48639214) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48643451-0.48639214) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85811844--0.85807050) × cos(0.48643451) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.88400525853391 × 6371000     		do = 269.997960252059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85811844--0.85807050) × cos(0.48639214) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.884025064738971 × 6371000     		du = 270.004009576896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48643451)-sin(0.48639214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88400525853391-0.884025064738971)×R²
    abs(-0.85807050--0.85811844)×1.98062050609238e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.98062050609238e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.98062050609238e-05×40589641000000     		ar = 72883.8687780311m²