Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4763 / 2057
↖ ↑ ↗
← N 82.663670°
W127.672119°		 ← 156 m → N 82.663670°
W127.661133°		 →
↑
156.03 m
↓
↑
156.03 m
↓
N 82.662267°
W127.672119°		 ← 156.03 m →
24 342 m²		 N 82.662267°
W127.661133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145370483398438 y=0.0627899169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145370483398438 × 215)
    floor (0.145370483398438 × 32768)
    floor (4763.5)     		tx = 4763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0627899169921875 × 215)
    floor (0.0627899169921875 × 32768)
    floor (2057.5)     		ty = 2057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4763 / 2057 ti = "15/4763/2057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4763/2057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4763 ÷ 215
    4763 ÷ 32768     		x = 0.145355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2057 ÷ 215
    2057 ÷ 32768     		y = 0.062774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145355224609375 × 2 - 1) × π
    -0.70928955078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22829884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.062774658203125 × 2 - 1) × π
    0.87445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74716784342618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22829884} λ = -2.22829884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74716784342618))-π/2
    2×atan(15.5983921779239)-π/2
    2×1.50677476855817-π/2
    3.01354953711634-1.57079632675     		φ = 1.44275321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22829884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.672119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44275321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.663670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4763 KachelY 2057 -2.22829884 1.44275321 -127.672119 82.663670
    Oben rechts KachelX + 1 4764 KachelY 2057 -2.22810709 1.44275321 -127.661133 82.663670
    Unten links KachelX 4763 KachelY + 1 2058 -2.22829884 1.44272872 -127.672119 82.662267
    Unten rechts KachelX + 1 4764 KachelY + 1 2058 -2.22810709 1.44272872 -127.661133 82.662267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44275321-1.44272872) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dl = 156.025789999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44275321-1.44272872) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dr = 156.025789999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22829884--2.22810709) × cos(1.44275321) × R
    0.000191749999999935 × 0.127693524831583 × 6371000     		do = 155.995421905059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22829884--2.22810709) × cos(1.44272872) × R
    0.000191749999999935 × 0.127717814310161 × 6371000     		du = 156.025094885452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44275321)-sin(1.44272872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127693524831583-0.127717814310161)×R²
    abs(-2.22810709--2.22829884)×2.42894785783265e-05×R²
    0.000191749999999935×2.42894785783265e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.42894785783265e-05×40589641000000     		ar = 24341.6238154218m²