Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4762 / 3658
↖ ↑ ↗
← N 18.895893°
E 29.267578°		 ← 4 623.15 m → N 18.895893°
E 29.311523°		 →
↑
4 623.75 m
↓
↑
4 623.75 m
↓
N 18.854310°
E 29.267578°		 ← 4 624.30 m →
21 378 973 m²		 N 18.854310°
E 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58135986328125 y=0.44659423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58135986328125 × 213)
    floor (0.58135986328125 × 8192)
    floor (4762.5)     		tx = 4762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44659423828125 × 213)
    floor (0.44659423828125 × 8192)
    floor (3658.5)     		ty = 3658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4762 / 3658 ti = "13/4762/3658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4762/3658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4762 ÷ 213
    4762 ÷ 8192     		x = 0.581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3658 ÷ 213
    3658 ÷ 8192     		y = 0.446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581298828125 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446533203125 × 2 - 1) × π
    0.10693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.335941792537354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51081560} λ = 0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335941792537354))-π/2
    2×atan(1.39925757520742)-π/2
    2×0.950295933525351-π/2
    1.9005918670507-1.57079632675     		φ = 0.32979554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32979554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.895893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4762 KachelY 3658 0.51081560 0.32979554 29.267578 18.895893
    Oben rechts KachelX + 1 4763 KachelY 3658 0.51158259 0.32979554 29.311523 18.895893
    Unten links KachelX 4762 KachelY + 1 3659 0.51081560 0.32906979 29.267578 18.854310
    Unten rechts KachelX + 1 4763 KachelY + 1 3659 0.51158259 0.32906979 29.311523 18.854310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32979554-0.32906979) × R
    0.000725750000000025 × 6371000     		dl = 4623.75325000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32979554-0.32906979) × R
    0.000725750000000025 × 6371000     		dr = 4623.75325000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51081560-0.51158259) × cos(0.32979554) × R
    0.000766989999999912 × 0.946108577591385 × 6371000     		do = 4623.15321601122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51081560-0.51158259) × cos(0.32906979) × R
    0.000766989999999912 × 0.946343362249595 × 6371000     		du = 4624.30048966815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32979554)-sin(0.32906979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946108577591385-0.946343362249595)×R²
    abs(0.51158259-0.51081560)×0.000234784658209586×R²
    0.000766989999999912×0.000234784658209586×6371000²
    0.000766989999999912×0.000234784658209586×40589641000000     		ar = 21378973.0013128m²