Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4761 / 3751
↖ ↑ ↗
← N 14.987240°
E 29.223633°		 ← 4 720.27 m → N 14.987240°
E 29.267578°		 →
↑
4 720.78 m
↓
↑
4 720.78 m
↓
N 14.944785°
E 29.223633°		 ← 4 721.21 m →
22 285 589 m²		 N 14.944785°
E 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58123779296875 y=0.45794677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58123779296875 × 213)
    floor (0.58123779296875 × 8192)
    floor (4761.5)     		tx = 4761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45794677734375 × 213)
    floor (0.45794677734375 × 8192)
    floor (3751.5)     		ty = 3751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4761 / 3751 ti = "13/4761/3751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4761/3751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4761 ÷ 213
    4761 ÷ 8192     		x = 0.5811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3751 ÷ 213
    3751 ÷ 8192     		y = 0.4578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4578857421875 × 2 - 1) × π
    0.084228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.26461168590271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51004861} λ = 0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26461168590271))-π/2
    2×atan(1.30292493341368)-π/2
    2×0.916186501148692-π/2
    1.83237300229738-1.57079632675     		φ = 0.26157668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26157668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.987240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4761 KachelY 3751 0.51004861 0.26157668 29.223633 14.987240
    Oben rechts KachelX + 1 4762 KachelY 3751 0.51081560 0.26157668 29.267578 14.987240
    Unten links KachelX 4761 KachelY + 1 3752 0.51004861 0.26083570 29.223633 14.944785
    Unten rechts KachelX + 1 4762 KachelY + 1 3752 0.51081560 0.26083570 29.267578 14.944785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26157668-0.26083570) × R
    0.000740980000000002 × 6371000     		dl = 4720.78358000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26157668-0.26083570) × R
    0.000740980000000002 × 6371000     		dr = 4720.78358000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51004861-0.51081560) × cos(0.26157668) × R
    0.000766990000000023 × 0.965983443354141 × 6371000     		do = 4720.27161420125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51004861-0.51081560) × cos(0.26083570) × R
    0.000766990000000023 × 0.966174798481606 × 6371000     		du = 4721.20666974761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26157668)-sin(0.26083570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965983443354141-0.966174798481606)×R²
    abs(0.51081560-0.51004861)×0.000191355127464821×R²
    0.000766990000000023×0.000191355127464821×6371000²
    0.000766990000000023×0.000191355127464821×40589641000000     		ar = 22285588.8465569m²