Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4761 / 3413
↖ ↑ ↗
← N 28.729131°
E 29.223633°		 ← 4 284.98 m → N 28.729131°
E 29.267578°		 →
↑
4 285.77 m
↓
↑
4 285.77 m
↓
N 28.690588°
E 29.223633°		 ← 4 286.55 m →
18 367 810 m²		 N 28.690588°
E 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58123779296875 y=0.41668701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58123779296875 × 213)
    floor (0.58123779296875 × 8192)
    floor (4761.5)     		tx = 4761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41668701171875 × 213)
    floor (0.41668701171875 × 8192)
    floor (3413.5)     		ty = 3413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4761 / 3413 ti = "13/4761/3413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4761/3413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4761 ÷ 213
    4761 ÷ 8192     		x = 0.5811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3413 ÷ 213
    3413 ÷ 8192     		y = 0.4166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4166259765625 × 2 - 1) × π
    0.166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.523854439047974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51004861} λ = 0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523854439047974))-π/2
    2×atan(1.68852343351089)-π/2
    2×1.03610712247635-π/2
    2.07221424495269-1.57079632675     		φ = 0.50141792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50141792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.729131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4761 KachelY 3413 0.51004861 0.50141792 29.223633 28.729131
    Oben rechts KachelX + 1 4762 KachelY 3413 0.51081560 0.50141792 29.267578 28.729131
    Unten links KachelX 4761 KachelY + 1 3414 0.51004861 0.50074522 29.223633 28.690588
    Unten rechts KachelX + 1 4762 KachelY + 1 3414 0.51081560 0.50074522 29.267578 28.690588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50141792-0.50074522) × R
    0.000672699999999971 × 6371000     		dl = 4285.77169999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50141792-0.50074522) × R
    0.000672699999999971 × 6371000     		dr = 4285.77169999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51004861-0.51081560) × cos(0.50141792) × R
    0.000766990000000023 × 0.876901892869998 × 6371000     		do = 4284.97521549767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51004861-0.51081560) × cos(0.50074522) × R
    0.000766990000000023 × 0.877225040739587 × 6371000     		du = 4286.5542753941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50141792)-sin(0.50074522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876901892869998-0.877225040739587)×R²
    abs(0.51081560-0.51004861)×0.000323147869588425×R²
    0.000766990000000023×0.000323147869588425×6371000²
    0.000766990000000023×0.000323147869588425×40589641000000     		ar = 18367809.9515479m²