Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4760 / 2728
↖ ↑ ↗
← N 81.659685°
W127.705078°		 ← 177.19 m → N 81.659685°
W127.694092°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
N 81.658092°
W127.705078°		 ← 177.23 m →
31 398 m²		 N 81.658092°
W127.694092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145278930664062 y=0.0832672119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145278930664062 × 215)
    floor (0.145278930664062 × 32768)
    floor (4760.5)     		tx = 4760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832672119140625 × 215)
    floor (0.0832672119140625 × 32768)
    floor (2728.5)     		ty = 2728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4760 / 2728 ti = "15/4760/2728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4760/2728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4760 ÷ 215
    4760 ÷ 32768     		x = 0.145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2728 ÷ 215
    2728 ÷ 32768     		y = 0.083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.70947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22887408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083251953125 × 2 - 1) × π
    0.83349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61850520484595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22887408} λ = -2.22887408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61850520484595))-π/2
    2×atan(13.7152068300188)-π/2
    2×1.49801334938964-π/2
    2.99602669877929-1.57079632675     		φ = 1.42523037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22887408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.705078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42523037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.659685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4760 KachelY 2728 -2.22887408 1.42523037 -127.705078 81.659685
    Oben rechts KachelX + 1 4761 KachelY 2728 -2.22868234 1.42523037 -127.694092 81.659685
    Unten links KachelX 4760 KachelY + 1 2729 -2.22887408 1.42520256 -127.705078 81.658092
    Unten rechts KachelX + 1 4761 KachelY + 1 2729 -2.22868234 1.42520256 -127.694092 81.658092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42523037-1.42520256) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dl = 177.177509999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42523037-1.42520256) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dr = 177.177509999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22887408--2.22868234) × cos(1.42523037) × R
    0.000191739999999996 × 0.145052424130675 × 6371000     		do = 177.192493335734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22887408--2.22868234) × cos(1.42520256) × R
    0.000191739999999996 × 0.145079939955211 × 6371000     		du = 177.226105993951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42523037)-sin(1.42520256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145052424130675-0.145079939955211)×R²
    abs(-2.22868234--2.22887408)×2.75158245365281e-05×R²
    0.000191739999999996×2.75158245365281e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.75158245365281e-05×40589641000000     		ar = 31397.5024654482m²