Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 476 / 444
↖ ↑ ↗
← N 23.241346°
W 12.656250°		 ← 35.920 km → N 23.241346°
W 12.304687°		 →
↑
35.963 km
↓
↑
35.963 km
↓
N 22.917923°
W 12.656250°		 ← 36.006 km →
1 293.34 km²		 N 22.917923°
W 12.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46533203125 y=0.43408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46533203125 × 210)
    floor (0.46533203125 × 1024)
    floor (476.5)     		tx = 476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43408203125 × 210)
    floor (0.43408203125 × 1024)
    floor (444.5)     		ty = 444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 476 / 444 ti = "10/476/444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/476/444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 476 ÷ 210
    476 ÷ 1024     		x = 0.46484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 444 ÷ 210
    444 ÷ 1024     		y = 0.43359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46484375 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43359375 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.417242774292969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22089323} λ = -0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417242774292969))-π/2
    2×atan(1.51777094397829)-π/2
    2×0.988217169433064-π/2
    1.97643433886613-1.57079632675     		φ = 0.40563801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40563801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.241346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 476 KachelY 444 -0.22089323 0.40563801 -12.656250 23.241346
    Oben rechts KachelX + 1 477 KachelY 444 -0.21475731 0.40563801 -12.304687 23.241346
    Unten links KachelX 476 KachelY + 1 445 -0.22089323 0.39999321 -12.656250 22.917923
    Unten rechts KachelX + 1 477 KachelY + 1 445 -0.21475731 0.39999321 -12.304687 22.917923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40563801-0.39999321) × R
    0.00564480000000001 × 6371000     		dl = 35963.0208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40563801-0.39999321) × R
    0.00564480000000001 × 6371000     		dr = 35963.0208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22089323--0.21475731) × cos(0.40563801) × R
    0.00613591999999999 × 0.91885082221011 × 6371000     		do = 35919.6670179254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22089323--0.21475731) × cos(0.39999321) × R
    0.00613591999999999 × 0.921063638132197 × 6371000     		du = 36006.1702991677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40563801)-sin(0.39999321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91885082221011-0.921063638132197)×R²
    abs(-0.21475731--0.22089323)×0.00221281592208722×R²
    0.00613591999999999×0.00221281592208722×6371000²
    0.00613591999999999×0.00221281592208722×40589641000000     		ar = 1293338625.9679m²