Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 476 / 376
↖ ↑ ↗
← N 74.402163°
W 96.328125°		 ← 5 255.59 m → N 74.402163°
W 96.152344°		 →
↑
5 263.40 m
↓
↑
5 263.40 m
↓
N 74.354828°
W 96.328125°		 ← 5 271.14 m →
27 703 204 m²		 N 74.354828°
W 96.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232666015625 y=0.183837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232666015625 × 211)
    floor (0.232666015625 × 2048)
    floor (476.5)     		tx = 476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.183837890625 × 211)
    floor (0.183837890625 × 2048)
    floor (376.5)     		ty = 376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 476 / 376 ti = "11/476/376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/476/376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 476 ÷ 211
    476 ÷ 2048     		x = 0.232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 376 ÷ 211
    376 ÷ 2048     		y = 0.18359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232421875 × 2 - 1) × π
    -0.53515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.68124294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18359375 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.98803910104297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68124294} λ = -1.68124294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98803910104297))-π/2
    2×atan(7.30120279516622)-π/2
    2×1.43467951736315-π/2
    2.8693590347263-1.57079632675     		φ = 1.29856271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68124294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29856271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.402163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 476 KachelY 376 -1.68124294 1.29856271 -96.328125 74.402163
    Oben rechts KachelX + 1 477 KachelY 376 -1.67817498 1.29856271 -96.152344 74.402163
    Unten links KachelX 476 KachelY + 1 377 -1.68124294 1.29773656 -96.328125 74.354828
    Unten rechts KachelX + 1 477 KachelY + 1 377 -1.67817498 1.29773656 -96.152344 74.354828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29856271-1.29773656) × R
    0.00082614999999997 × 6371000     		dl = 5263.40164999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29856271-1.29773656) × R
    0.00082614999999997 × 6371000     		dr = 5263.40164999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68124294--1.67817498) × cos(1.29856271) × R
    0.00306795999999987 × 0.268883464392247 × 6371000     		do = 5255.58897817845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68124294--1.67817498) × cos(1.29773656) × R
    0.00306795999999987 × 0.269679097682116 × 6371000     		du = 5271.14040510743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29856271)-sin(1.29773656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.268883464392247-0.269679097682116)×R²
    abs(-1.67817498--1.68124294)×0.00079563328986848×R²
    0.00306795999999987×0.00079563328986848×6371000²
    0.00306795999999987×0.00079563328986848×40589641000000     		ar = 27703203.9782189m²