Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47577 / 55113
↖ ↑ ↗
← N 27.505835°
W 49.325867°		 ← 270.90 m → N 27.505835°
W 49.323120°		 →
↑
270.89 m
↓
↑
270.89 m
↓
N 27.503399°
W 49.325867°		 ← 270.91 m →
73 387 m²		 N 27.503399°
W 49.323120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362987518310547 y=0.420482635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362987518310547 × 217)
    floor (0.362987518310547 × 131072)
    floor (47577.5)     		tx = 47577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420482635498047 × 217)
    floor (0.420482635498047 × 131072)
    floor (55113.5)     		ty = 55113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47577 / 55113 ti = "17/47577/55113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47577/55113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47577 ÷ 217
    47577 ÷ 131072     		x = 0.362983703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55113 ÷ 217
    55113 ÷ 131072     		y = 0.420478820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362983703613281 × 2 - 1) × π
    -0.274032592773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.86089878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420478820800781 × 2 - 1) × π
    0.159042358398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.499646304739845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86089878} λ = -0.86089878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499646304739845))-π/2
    2×atan(1.648138228917)-π/2
    2×1.02543185833127-π/2
    2.05086371666255-1.57079632675     		φ = 0.48006739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86089878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.325867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48006739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.505835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47577 KachelY 55113 -0.86089878 0.48006739 -49.325867 27.505835
    Oben rechts KachelX + 1 47578 KachelY 55113 -0.86085084 0.48006739 -49.323120 27.505835
    Unten links KachelX 47577 KachelY + 1 55114 -0.86089878 0.48002487 -49.325867 27.503399
    Unten rechts KachelX + 1 47578 KachelY + 1 55114 -0.86085084 0.48002487 -49.323120 27.503399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48006739-0.48002487) × R
    4.25199999999903e-05 × 6371000     		dl = 270.894919999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48006739-0.48002487) × R
    4.25199999999903e-05 × 6371000     		dr = 270.894919999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86089878--0.86085084) × cos(0.48006739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886963801466563 × 6371000     		do = 270.901575415961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86089878--0.86085084) × cos(0.48002487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886983438056879 × 6371000     		du = 270.907572936089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48006739)-sin(0.48002487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886963801466563-0.886983438056879)×R²
    abs(-0.86085084--0.86089878)×1.96365903156748e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96365903156748e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96365903156748e-05×40589641000000     		ar = 73386.6729601789m²