Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4757 / 4026
↖ ↑ ↗
← N 79.314868°
W127.738037°		 ← 226.51 m → N 79.314868°
W127.727051°		 →
↑
226.49 m
↓
↑
226.49 m
↓
N 79.312832°
W127.738037°		 ← 226.55 m →
51 306 m²		 N 79.312832°
W127.727051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145187377929688 y=0.122879028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145187377929688 × 215)
    floor (0.145187377929688 × 32768)
    floor (4757.5)     		tx = 4757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122879028320312 × 215)
    floor (0.122879028320312 × 32768)
    floor (4026.5)     		ty = 4026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4757 / 4026 ti = "15/4757/4026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4757/4026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4757 ÷ 215
    4757 ÷ 32768     		x = 0.145172119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4026 ÷ 215
    4026 ÷ 32768     		y = 0.12286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145172119140625 × 2 - 1) × π
    -0.70965576171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22944933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12286376953125 × 2 - 1) × π
    0.7542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36961682201862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22944933} λ = -2.22944933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36961682201862))-π/2
    2×atan(10.6932940641535)-π/2
    2×1.47755096385014-π/2
    2.95510192770027-1.57079632675     		φ = 1.38430560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22944933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.738037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38430560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.314868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4757 KachelY 4026 -2.22944933 1.38430560 -127.738037 79.314868
    Oben rechts KachelX + 1 4758 KachelY 4026 -2.22925758 1.38430560 -127.727051 79.314868
    Unten links KachelX 4757 KachelY + 1 4027 -2.22944933 1.38427005 -127.738037 79.312832
    Unten rechts KachelX + 1 4758 KachelY + 1 4027 -2.22925758 1.38427005 -127.727051 79.312832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38430560-1.38427005) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dl = 226.48904999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38430560-1.38427005) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dr = 226.48904999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22944933--2.22925758) × cos(1.38430560) × R
    0.000191749999999935 × 0.18541161800276 × 6371000     		do = 226.506109958101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22944933--2.22925758) × cos(1.38427005) × R
    0.000191749999999935 × 0.185446551482169 × 6371000     		du = 226.548786067686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38430560)-sin(1.38427005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18541161800276-0.185446551482169)×R²
    abs(-2.22925758--2.22944933)×3.49334794089162e-05×R²
    0.000191749999999935×3.49334794089162e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.49334794089162e-05×40589641000000     		ar = 51305.9865044354m²