Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4757 / 3654
↖ ↑ ↗
← N 19.062118°
E 29.047852°		 ← 4 618.54 m → N 19.062118°
E 29.091797°		 →
↑
4 619.10 m
↓
↑
4 619.10 m
↓
N 19.020577°
E 29.047852°		 ← 4 619.70 m →
21 336 192 m²		 N 19.020577°
E 29.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58074951171875 y=0.44610595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58074951171875 × 213)
    floor (0.58074951171875 × 8192)
    floor (4757.5)     		tx = 4757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44610595703125 × 213)
    floor (0.44610595703125 × 8192)
    floor (3654.5)     		ty = 3654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4757 / 3654 ti = "13/4757/3654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4757/3654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4757 ÷ 213
    4757 ÷ 8192     		x = 0.5806884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3654 ÷ 213
    3654 ÷ 8192     		y = 0.446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5806884765625 × 2 - 1) × π
    0.161376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50698065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    0.10791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.339009754113037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50698065} λ = 0.50698065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339009754113037))-π/2
    2×atan(1.40355703559994)-π/2
    2×0.951746523128181-π/2
    1.90349304625636-1.57079632675     		φ = 0.33269672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50698065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.047852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33269672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.062118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4757 KachelY 3654 0.50698065 0.33269672 29.047852 19.062118
    Oben rechts KachelX + 1 4758 KachelY 3654 0.50774764 0.33269672 29.091797 19.062118
    Unten links KachelX 4757 KachelY + 1 3655 0.50698065 0.33197170 29.047852 19.020577
    Unten rechts KachelX + 1 4758 KachelY + 1 3655 0.50774764 0.33197170 29.091797 19.020577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33269672-0.33197170) × R
    0.000725020000000021 × 6371000     		dl = 4619.10242000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33269672-0.33197170) × R
    0.000725020000000021 × 6371000     		dr = 4619.10242000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50698065-0.50774764) × cos(0.33269672) × R
    0.000766989999999912 × 0.945165051322812 × 6371000     		do = 4618.5426812309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50698065-0.50774764) × cos(0.33197170) × R
    0.000766989999999912 × 0.945401589386343 × 6371000     		du = 4619.69852289117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33269672)-sin(0.33197170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945165051322812-0.945401589386343)×R²
    abs(0.50774764-0.50698065)×0.000236538063531078×R²
    0.000766989999999912×0.000236538063531078×6371000²
    0.000766989999999912×0.000236538063531078×40589641000000     		ar = 21336192.0858743m²