Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4756 / 3878
↖ ↑ ↗
← N  9.535749°
E 29.003906°		 ← 4 818.97 m → N  9.535749°
E 29.047852°		 →
↑
4 819.28 m
↓
↑
4 819.28 m
↓
N  9.492408°
E 29.003906°		 ← 4 819.58 m →
23 225 454 m²		 N  9.492408°
E 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58062744140625 y=0.47344970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58062744140625 × 213)
    floor (0.58062744140625 × 8192)
    floor (4756.5)     		tx = 4756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47344970703125 × 213)
    floor (0.47344970703125 × 8192)
    floor (3878.5)     		ty = 3878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4756 / 3878 ti = "13/4756/3878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4756/3878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4756 ÷ 213
    4756 ÷ 8192     		x = 0.58056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3878 ÷ 213
    3878 ÷ 8192     		y = 0.473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58056640625 × 2 - 1) × π
    0.1611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50621366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.473388671875 × 2 - 1) × π
    0.05322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.167203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50621366} λ = 0.50621366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.167203905874756))-π/2
    2×atan(1.1819952565145)-π/2
    2×0.868613271725683-π/2
    1.73722654345137-1.57079632675     		φ = 0.16643022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50621366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16643022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.535749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4756 KachelY 3878 0.50621366 0.16643022 29.003906 9.535749
    Oben rechts KachelX + 1 4757 KachelY 3878 0.50698065 0.16643022 29.047852 9.535749
    Unten links KachelX 4756 KachelY + 1 3879 0.50621366 0.16567378 29.003906 9.492408
    Unten rechts KachelX + 1 4757 KachelY + 1 3879 0.50698065 0.16567378 29.047852 9.492408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16643022-0.16567378) × R
    0.000756439999999997 × 6371000     		dl = 4819.27923999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16643022-0.16567378) × R
    0.000756439999999997 × 6371000     		dr = 4819.27923999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50621366-0.50698065) × cos(0.16643022) × R
    0.000766990000000023 × 0.98618242958398 × 6371000     		do = 4818.97382487816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50621366-0.50698065) × cos(0.16567378) × R
    0.000766990000000023 × 0.986307461512305 × 6371000     		du = 4819.58479255696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16643022)-sin(0.16567378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98618242958398-0.986307461512305)×R²
    abs(0.50698065-0.50621366)×0.000125031928324693×R²
    0.000766990000000023×0.000125031928324693×6371000²
    0.000766990000000023×0.000125031928324693×40589641000000     		ar = 23225453.8317338m²