Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4755 / 3547
↖ ↑ ↗
← N 23.443089°
E 28.959961°		 ← 4 483.14 m → N 23.443089°
E 29.003906°		 →
↑
4 483.85 m
↓
↑
4 483.85 m
↓
N 23.402765°
E 28.959961°		 ← 4 484.51 m →
20 104 780 m²		 N 23.402765°
E 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58050537109375 y=0.43304443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58050537109375 × 213)
    floor (0.58050537109375 × 8192)
    floor (4755.5)     		tx = 4755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43304443359375 × 213)
    floor (0.43304443359375 × 8192)
    floor (3547.5)     		ty = 3547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4755 / 3547 ti = "13/4755/3547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4755/3547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4755 ÷ 213
    4755 ÷ 8192     		x = 0.5804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3547 ÷ 213
    3547 ÷ 8192     		y = 0.4329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5804443359375 × 2 - 1) × π
    0.160888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50544667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4329833984375 × 2 - 1) × π
    0.134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.421077726262573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50544667} λ = 0.50544667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421077726262573))-π/2
    2×atan(1.52360269774989)-π/2
    2×0.989977707734884-π/2
    1.97995541546977-1.57079632675     		φ = 0.40915909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50544667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40915909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.443089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4755 KachelY 3547 0.50544667 0.40915909 28.959961 23.443089
    Oben rechts KachelX + 1 4756 KachelY 3547 0.50621366 0.40915909 29.003906 23.443089
    Unten links KachelX 4755 KachelY + 1 3548 0.50544667 0.40845530 28.959961 23.402765
    Unten rechts KachelX + 1 4756 KachelY + 1 3548 0.50621366 0.40845530 29.003906 23.402765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40915909-0.40845530) × R
    0.000703789999999982 × 6371000     		dl = 4483.84608999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40915909-0.40845530) × R
    0.000703789999999982 × 6371000     		dr = 4483.84608999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50544667-0.50621366) × cos(0.40915909) × R
    0.000766990000000023 × 0.917455693085462 × 6371000     		do = 4483.14108813454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50544667-0.50621366) × cos(0.40845530) × R
    0.000766990000000023 × 0.917735460230772 × 6371000     		du = 4484.50816841287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40915909)-sin(0.40845530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917455693085462-0.917735460230772)×R²
    abs(0.50621366-0.50544667)×0.000279767145310306×R²
    0.000766990000000023×0.000279767145310306×6371000²
    0.000766990000000023×0.000279767145310306×40589641000000     		ar = 20104780.3575897m²