Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4754 / 3947
↖ ↑ ↗
← N 79.474599°
W127.770996°		 ← 223.16 m → N 79.474599°
W127.760010°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
N 79.472592°
W127.770996°		 ← 223.20 m →
49 808 m²		 N 79.472592°
W127.760010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145095825195312 y=0.120468139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145095825195312 × 215)
    floor (0.145095825195312 × 32768)
    floor (4754.5)     		tx = 4754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120468139648438 × 215)
    floor (0.120468139648438 × 32768)
    floor (3947.5)     		ty = 3947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4754 / 3947 ti = "15/4754/3947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4754/3947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4754 ÷ 215
    4754 ÷ 32768     		x = 0.14508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3947 ÷ 215
    3947 ÷ 32768     		y = 0.120452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.7098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23002457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120452880859375 × 2 - 1) × π
    0.75909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38476488229855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23002457} λ = -2.23002457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38476488229855))-π/2
    2×atan(10.8565098071897)-π/2
    2×1.47894487499518-π/2
    2.95788974999036-1.57079632675     		φ = 1.38709342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23002457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.770996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38709342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.474599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4754 KachelY 3947 -2.23002457 1.38709342 -127.770996 79.474599
    Oben rechts KachelX + 1 4755 KachelY 3947 -2.22983282 1.38709342 -127.760010 79.474599
    Unten links KachelX 4754 KachelY + 1 3948 -2.23002457 1.38705839 -127.770996 79.472592
    Unten rechts KachelX + 1 4755 KachelY + 1 3948 -2.22983282 1.38705839 -127.760010 79.472592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38709342-1.38705839) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dl = 223.176130000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38709342-1.38705839) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dr = 223.176130000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23002457--2.22983282) × cos(1.38709342) × R
    0.000191749999999935 × 0.182671419213335 × 6371000     		do = 223.158575564139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23002457--2.22983282) × cos(1.38705839) × R
    0.000191749999999935 × 0.182705859687153 × 6371000     		du = 223.200649398743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38709342)-sin(1.38705839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182671419213335-0.182705859687153)×R²
    abs(-2.22983282--2.23002457)×3.44404738176485e-05×R²
    0.000191749999999935×3.44404738176485e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.44404738176485e-05×40589641000000     		ar = 49808.3622136757m²