Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47528 / 54888
↖ ↑ ↗
← N 28.052591°
W 49.460449°		 ← 269.54 m → N 28.052591°
W 49.457703°		 →
↑
269.49 m
↓
↑
269.49 m
↓
N 28.050167°
W 49.460449°		 ← 269.55 m →
72 641 m²		 N 28.050167°
W 49.457703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362613677978516 y=0.418766021728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362613677978516 × 217)
    floor (0.362613677978516 × 131072)
    floor (47528.5)     		tx = 47528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418766021728516 × 217)
    floor (0.418766021728516 × 131072)
    floor (54888.5)     		ty = 54888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47528 / 54888 ti = "17/47528/54888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47528/54888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47528 ÷ 217
    47528 ÷ 131072     		x = 0.36260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54888 ÷ 217
    54888 ÷ 131072     		y = 0.41876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36260986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2747802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.86324769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    0.1624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.510432107154358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86324769} λ = -0.86324769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510432107154358))-π/2
    2×atan(1.66601093467646)-π/2
    2×1.03020320018202-π/2
    2.06040640036405-1.57079632675     		φ = 0.48961007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86324769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.460449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48961007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.052591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47528 KachelY 54888 -0.86324769 0.48961007 -49.460449 28.052591
    Oben rechts KachelX + 1 47529 KachelY 54888 -0.86319975 0.48961007 -49.457703 28.052591
    Unten links KachelX 47528 KachelY + 1 54889 -0.86324769 0.48956777 -49.460449 28.050167
    Unten rechts KachelX + 1 47529 KachelY + 1 54889 -0.86319975 0.48956777 -49.457703 28.050167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48961007-0.48956777) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dl = 269.493299999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48961007-0.48956777) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dr = 269.493299999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86324769--0.86319975) × cos(0.48961007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882516302680718 × 6371000     		do = 269.543194808146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86324769--0.86319975) × cos(0.48956777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882536194811497 × 6371000     		du = 269.549270376909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48961007)-sin(0.48956777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882516302680718-0.882536194811497)×R²
    abs(-0.86319975--0.86324769)×1.98921307792421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98921307792421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98921307792421e-05×40589641000000     		ar = 72640.9037347724m²