Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47519 / 55017
↖ ↑ ↗
← N 27.739454°
W 49.485168°		 ← 270.32 m → N 27.739454°
W 49.482422°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
N 27.737023°
W 49.485168°		 ← 270.33 m →
73 075 m²		 N 27.737023°
W 49.482422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362545013427734 y=0.419750213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362545013427734 × 217)
    floor (0.362545013427734 × 131072)
    floor (47519.5)     		tx = 47519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419750213623047 × 217)
    floor (0.419750213623047 × 131072)
    floor (55017.5)     		ty = 55017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47519 / 55017 ti = "17/47519/55017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47519/55017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47519 ÷ 217
    47519 ÷ 131072     		x = 0.362541198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55017 ÷ 217
    55017 ÷ 131072     		y = 0.419746398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362541198730469 × 2 - 1) × π
    -0.274917602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.86367912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419746398925781 × 2 - 1) × π
    0.160507202148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.504248247103371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86367912} λ = -0.86367912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504248247103371))-π/2
    2×atan(1.65574034488698)-π/2
    2×1.02747056356496-π/2
    2.05494112712992-1.57079632675     		φ = 0.48414480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86367912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.485168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48414480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.739454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47519 KachelY 55017 -0.86367912 0.48414480 -49.485168 27.739454
    Oben rechts KachelX + 1 47520 KachelY 55017 -0.86363118 0.48414480 -49.482422 27.739454
    Unten links KachelX 47519 KachelY + 1 55018 -0.86367912 0.48410237 -49.485168 27.737023
    Unten rechts KachelX + 1 47520 KachelY + 1 55018 -0.86363118 0.48410237 -49.482422 27.737023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48414480-0.48410237) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dl = 270.321529999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48414480-0.48410237) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dr = 270.321529999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86367912--0.86363118) × cos(0.48414480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8850733269379 × 6371000     		do = 270.324175834093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86367912--0.86363118) × cos(0.48410237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885093075253219 × 6371000     		du = 270.330207477913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48414480)-sin(0.48410237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8850733269379-0.885093075253219)×R²
    abs(-0.86363118--0.86367912)×1.97483153192568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97483153192568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97483153192568e-05×40589641000000     		ar = 73075.2600599752m²