Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47518 / 54901
↖ ↑ ↗
← N 28.021076°
W 49.487915°		 ← 269.62 m → N 28.021076°
W 49.485168°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
N 28.018651°
W 49.487915°		 ← 269.63 m →
72 697 m²		 N 28.018651°
W 49.485168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362537384033203 y=0.418865203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362537384033203 × 217)
    floor (0.362537384033203 × 131072)
    floor (47518.5)     		tx = 47518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418865203857422 × 217)
    floor (0.418865203857422 × 131072)
    floor (54901.5)     		ty = 54901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47518 / 54901 ti = "17/47518/54901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47518/54901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47518 ÷ 217
    47518 ÷ 131072     		x = 0.362533569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54901 ÷ 217
    54901 ÷ 131072     		y = 0.418861389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362533569335938 × 2 - 1) × π
    -0.274932861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86372706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418861389160156 × 2 - 1) × π
    0.162277221679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.509808927459297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86372706} λ = -0.86372706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509808927459297))-π/2
    2×atan(1.66497303392314)-π/2
    2×1.02992817677762-π/2
    2.05985635355524-1.57079632675     		φ = 0.48906003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86372706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.487915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48906003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.021076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47518 KachelY 54901 -0.86372706 0.48906003 -49.487915 28.021076
    Oben rechts KachelX + 1 47519 KachelY 54901 -0.86367912 0.48906003 -49.485168 28.021076
    Unten links KachelX 47518 KachelY + 1 54902 -0.86372706 0.48901771 -49.487915 28.018651
    Unten rechts KachelX + 1 47519 KachelY + 1 54902 -0.86367912 0.48901771 -49.485168 28.018651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48906003-0.48901771) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48906003-0.48901771) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86372706--0.86367912) × cos(0.48906003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882774842971336 × 6371000     		do = 269.622159667727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86372706--0.86367912) × cos(0.48901771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88279472396082 × 6371000     		du = 269.628231833652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48906003)-sin(0.48901771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882774842971336-0.88279472396082)×R²
    abs(-0.86367912--0.86372706)×1.98809894840224e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98809894840224e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98809894840224e-05×40589641000000     		ar = 72696.539419189m²