Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47512 / 56715
↖ ↑ ↗
← N 23.536291°
W 49.504395°		 ← 280.02 m → N 23.536291°
W 49.501648°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
N 23.533773°
W 49.504395°		 ← 280.02 m →
78 407 m²		 N 23.533773°
W 49.501648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362491607666016 y=0.432704925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362491607666016 × 217)
    floor (0.362491607666016 × 131072)
    floor (47512.5)     		tx = 47512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432704925537109 × 217)
    floor (0.432704925537109 × 131072)
    floor (56715.5)     		ty = 56715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47512 / 56715 ti = "17/47512/56715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47512/56715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47512 ÷ 217
    47512 ÷ 131072     		x = 0.36248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56715 ÷ 217
    56715 ÷ 131072     		y = 0.432701110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.2750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86401468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432701110839844 × 2 - 1) × π
    0.134597778320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.422851391548515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86401468} λ = -0.86401468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422851391548515))-π/2
    2×atan(1.52630745692411)-π/2
    2×0.99079105003989-π/2
    1.98158210007978-1.57079632675     		φ = 0.41078577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86401468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.504395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41078577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.536291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47512 KachelY 56715 -0.86401468 0.41078577 -49.504395 23.536291
    Oben rechts KachelX + 1 47513 KachelY 56715 -0.86396674 0.41078577 -49.501648 23.536291
    Unten links KachelX 47512 KachelY + 1 56716 -0.86401468 0.41074182 -49.504395 23.533773
    Unten rechts KachelX + 1 47513 KachelY + 1 56716 -0.86396674 0.41074182 -49.501648 23.533773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41078577-0.41074182) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41078577-0.41074182) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86401468--0.86396674) × cos(0.41078577) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.916807324466186 × 6371000     		do = 280.01655551297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86401468--0.86396674) × cos(0.41074182) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.916824874127673 × 6371000     		du = 280.021915631316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41078577)-sin(0.41074182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916807324466186-0.916824874127673)×R²
    abs(-0.86396674--0.86401468)×1.75496614869264e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.75496614869264e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.75496614869264e-05×40589641000000     		ar = 78406.9120777054m²