Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4750 / 3553
↖ ↑ ↗
← N 23.200961°
E 28.740235°		 ← 4 491.32 m → N 23.200961°
E 28.784180°		 →
↑
4 492 m
↓
↑
4 492 m
↓
N 23.160564°
E 28.740235°		 ← 4 492.67 m →
20 178 044 m²		 N 23.160564°
E 28.784180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57989501953125 y=0.43377685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57989501953125 × 213)
    floor (0.57989501953125 × 8192)
    floor (4750.5)     		tx = 4750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43377685546875 × 213)
    floor (0.43377685546875 × 8192)
    floor (3553.5)     		ty = 3553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4750 / 3553 ti = "13/4750/3553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4750/3553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4750 ÷ 213
    4750 ÷ 8192     		x = 0.579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3553 ÷ 213
    3553 ÷ 8192     		y = 0.4337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579833984375 × 2 - 1) × π
    0.15966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50161172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4337158203125 × 2 - 1) × π
    0.132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.416475783899048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50161172} λ = 0.50161172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416475783899048))-π/2
    2×atan(1.51660727456277)-π/2
    2×0.987864741255545-π/2
    1.97572948251109-1.57079632675     		φ = 0.40493316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50161172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.740235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40493316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.200961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4750 KachelY 3553 0.50161172 0.40493316 28.740235 23.200961
    Oben rechts KachelX + 1 4751 KachelY 3553 0.50237871 0.40493316 28.784180 23.200961
    Unten links KachelX 4750 KachelY + 1 3554 0.50161172 0.40422809 28.740235 23.160564
    Unten rechts KachelX + 1 4751 KachelY + 1 3554 0.50237871 0.40422809 28.784180 23.160564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40493316-0.40422809) × R
    0.00070507000000003 × 6371000     		dl = 4492.00097000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40493316-0.40422809) × R
    0.00070507000000003 × 6371000     		dr = 4492.00097000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50161172-0.50237871) × cos(0.40493316) × R
    0.000766990000000023 × 0.919128731326614 × 6371000     		do = 4491.31637827385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50161172-0.50237871) × cos(0.40422809) × R
    0.000766990000000023 × 0.919406270335596 × 6371000     		du = 4492.67257077895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40493316)-sin(0.40422809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919128731326614-0.919406270335596)×R²
    abs(0.50237871-0.50161172)×0.000277539008982086×R²
    0.000766990000000023×0.000277539008982086×6371000²
    0.000766990000000023×0.000277539008982086×40589641000000     		ar = 20178044.3727228m²