Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4750 / 2058
↖ ↑ ↗
← N 82.662267°
W127.814941°		 ← 156.03 m → N 82.662267°
W127.803955°		 →
↑
156.03 m
↓
↑
156.03 m
↓
N 82.660863°
W127.814941°		 ← 156.05 m →
24 346 m²		 N 82.660863°
W127.803955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144973754882812 y=0.0628204345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144973754882812 × 215)
    floor (0.144973754882812 × 32768)
    floor (4750.5)     		tx = 4750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0628204345703125 × 215)
    floor (0.0628204345703125 × 32768)
    floor (2058.5)     		ty = 2058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4750 / 2058 ti = "15/4750/2058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4750/2058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4750 ÷ 215
    4750 ÷ 32768     		x = 0.14495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2058 ÷ 215
    2058 ÷ 32768     		y = 0.06280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.7100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23079156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06280517578125 × 2 - 1) × π
    0.8743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.7469760958277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23079156} λ = -2.23079156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7469760958277))-π/2
    2×atan(15.5954015104195)-π/2
    2×1.50676252493064-π/2
    3.01352504986128-1.57079632675     		φ = 1.44272872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23079156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.814941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44272872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.662267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4750 KachelY 2058 -2.23079156 1.44272872 -127.814941 82.662267
    Oben rechts KachelX + 1 4751 KachelY 2058 -2.23059981 1.44272872 -127.803955 82.662267
    Unten links KachelX 4750 KachelY + 1 2059 -2.23079156 1.44270423 -127.814941 82.660863
    Unten rechts KachelX + 1 4751 KachelY + 1 2059 -2.23059981 1.44270423 -127.803955 82.660863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44272872-1.44270423) × R
    2.44900000001547e-05 × 6371000     		dl = 156.025790000985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44272872-1.44270423) × R
    2.44900000001547e-05 × 6371000     		dr = 156.025790000985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23079156--2.23059981) × cos(1.44272872) × R
    0.000191749999999935 × 0.127717814310161 × 6371000     		do = 156.025094885452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23079156--2.23059981) × cos(1.44270423) × R
    0.000191749999999935 × 0.12774210371214 × 6371000     		du = 156.054767772268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44272872)-sin(1.44270423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127717814310161-0.12774210371214)×R²
    abs(-2.23059981--2.23079156)×2.42894019785167e-05×R²
    0.000191749999999935×2.42894019785167e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.42894019785167e-05×40589641000000     		ar = 24346.2535583317m²