Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 475 / 439
↖ ↑ ↗
← N 24.846565°
W 13.007813°		 ← 35.474 km → N 24.846565°
W 12.656250°		 →
↑
35.519 km
↓
↑
35.519 km
↓
N 24.527135°
W 13.007813°		 ← 35.565 km →
1 261.60 km²		 N 24.527135°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46435546875 y=0.42919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46435546875 × 210)
    floor (0.46435546875 × 1024)
    floor (475.5)     		tx = 475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42919921875 × 210)
    floor (0.42919921875 × 1024)
    floor (439.5)     		ty = 439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 475 / 439 ti = "10/475/439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/475/439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 475 ÷ 210
    475 ÷ 1024     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 439 ÷ 210
    439 ÷ 1024     		y = 0.4287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447922390049805))-π/2
    2×atan(1.56505722692656)-π/2
    2×1.00222534996082-π/2
    2.00445069992164-1.57079632675     		φ = 0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 475 KachelY 439 -0.22702916 0.43365437 -13.007813 24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 476 KachelY 439 -0.22089323 0.43365437 -12.656250 24.846565
    Unten links KachelX 475 KachelY + 1 440 -0.22702916 0.42807926 -13.007813 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 476 KachelY + 1 440 -0.22089323 0.42807926 -12.656250 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43365437-0.42807926) × R
    0.00557510999999999 × 6371000     		dl = 35519.02581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43365437-0.42807926) × R
    0.00557510999999999 × 6371000     		dr = 35519.02581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22089323) × cos(0.43365437) × R
    0.00613593000000001 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 35473.5082986235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22089323) × cos(0.42807926) × R
    0.00613593000000001 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 35564.5336275678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43365437)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.909764772910752)×R²
    abs(-0.22089323--0.22702916)×0.00232848934793761×R²
    0.00613593000000001×0.00232848934793761×6371000²
    0.00613593000000001×0.00232848934793761×40589641000000     		ar = 1261604290.08559m²