Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 475 / 253
↖ ↑ ↗
← N 66.930060°
W 13.007813°		 ← 15.318 km → N 66.930060°
W 12.656250°		 →
↑
15.362 km
↓
↑
15.362 km
↓
N 66.791909°
W 13.007813°		 ← 15.405 km →
235.982 km²		 N 66.791909°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46435546875 y=0.24755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46435546875 × 210)
    floor (0.46435546875 × 1024)
    floor (475.5)     		tx = 475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24755859375 × 210)
    floor (0.24755859375 × 1024)
    floor (253.5)     		ty = 253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 475 / 253 ti = "10/475/253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/475/253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 475 ÷ 210
    475 ÷ 1024     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 253 ÷ 210
    253 ÷ 1024     		y = 0.2470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2470703125 × 2 - 1) × π
    0.505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5892040962041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5892040962041))-π/2
    2×atan(4.89984756869985)-π/2
    2×1.36947312342415-π/2
    2.7389462468483-1.57079632675     		φ = 1.16814992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16814992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.930060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 475 KachelY 253 -0.22702916 1.16814992 -13.007813 66.930060
    Oben rechts KachelX + 1 476 KachelY 253 -0.22089323 1.16814992 -12.656250 66.930060
    Unten links KachelX 475 KachelY + 1 254 -0.22702916 1.16573873 -13.007813 66.791909
    Unten rechts KachelX + 1 476 KachelY + 1 254 -0.22089323 1.16573873 -12.656250 66.791909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16814992-1.16573873) × R
    0.00241119000000012 × 6371000     		dl = 15361.6914900008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16814992-1.16573873) × R
    0.00241119000000012 × 6371000     		dr = 15361.6914900008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22089323) × cos(1.16814992) × R
    0.00613593000000001 × 0.3918544778977 × 6371000     		do = 15318.3791802773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22089323) × cos(1.16573873) × R
    0.00613593000000001 × 0.394071697069453 × 6371000     		du = 15405.0547343782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16814992)-sin(1.16573873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3918544778977-0.394071697069453)×R²
    abs(-0.22089323--0.22702916)×0.00221721917175299×R²
    0.00613593000000001×0.00221721917175299×6371000²
    0.00613593000000001×0.00221721917175299×40589641000000     		ar = 235982070.985288m²