Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47488 / 55168
↖ ↑ ↗
← N 27.371767°
W 49.570312°		 ← 271.17 m → N 27.371767°
W 49.567566°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
N 27.369328°
W 49.570312°		 ← 271.18 m →
73 547 m²		 N 27.369328°
W 49.567566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362308502197266 y=0.420902252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362308502197266 × 217)
    floor (0.362308502197266 × 131072)
    floor (47488.5)     		tx = 47488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420902252197266 × 217)
    floor (0.420902252197266 × 131072)
    floor (55168.5)     		ty = 55168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47488 / 55168 ti = "17/47488/55168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47488/55168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47488 ÷ 217
    47488 ÷ 131072     		x = 0.3623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55168 ÷ 217
    55168 ÷ 131072     		y = 0.4208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86516516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86516516} λ = -0.86516516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497009775260742))-π/2
    2×atan(1.64379858720132)-π/2
    2×1.02426189413306-π/2
    2.04852378826613-1.57079632675     		φ = 0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86516516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47488 KachelY 55168 -0.86516516 0.47772746 -49.570312 27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 47489 KachelY 55168 -0.86511723 0.47772746 -49.567566 27.371767
    Unten links KachelX 47488 KachelY + 1 55169 -0.86516516 0.47768489 -49.570312 27.369328
    Unten rechts KachelX + 1 47489 KachelY + 1 55169 -0.86511723 0.47768489 -49.567566 27.369328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47772746-0.47768489) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dl = 271.213470000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47772746-0.47768489) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dr = 271.213470000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86516516--0.86511723) × cos(0.47772746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 271.174321009406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86516516--0.86511723) × cos(0.47768489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888061614383885 × 6371000     		du = 271.180297333506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47772746)-sin(0.47768489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.888061614383885)×R²
    abs(-0.86511723--0.86516516)×1.95712744650578e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95712744650578e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95712744650578e-05×40589641000000     		ar = 73546.9390168031m²