Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4748 / 3866
↖ ↑ ↗
← N 10.055403°
E 28.652344°		 ← 4 811.43 m → N 10.055403°
E 28.696289°		 →
↑
4 811.76 m
↓
↑
4 811.76 m
↓
N 10.012130°
E 28.652344°		 ← 4 812.08 m →
23 153 019 m²		 N 10.012130°
E 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57965087890625 y=0.47198486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57965087890625 × 213)
    floor (0.57965087890625 × 8192)
    floor (4748.5)     		tx = 4748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47198486328125 × 213)
    floor (0.47198486328125 × 8192)
    floor (3866.5)     		ty = 3866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4748 / 3866 ti = "13/4748/3866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4748/3866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4748 ÷ 213
    4748 ÷ 8192     		x = 0.57958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3866 ÷ 213
    3866 ÷ 8192     		y = 0.471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57958984375 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    0.05615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.176407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50007774} λ = 0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.176407790601807))-π/2
    2×atan(1.19292442284486)-π/2
    2×0.873148106078513-π/2
    1.74629621215703-1.57079632675     		φ = 0.17549989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17549989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.055403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4748 KachelY 3866 0.50007774 0.17549989 28.652344 10.055403
    Oben rechts KachelX + 1 4749 KachelY 3866 0.50084473 0.17549989 28.696289 10.055403
    Unten links KachelX 4748 KachelY + 1 3867 0.50007774 0.17474463 28.652344 10.012130
    Unten rechts KachelX + 1 4749 KachelY + 1 3867 0.50084473 0.17474463 28.696289 10.012130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17549989-0.17474463) × R
    0.00075525999999998 × 6371000     		dl = 4811.76145999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17549989-0.17474463) × R
    0.00075525999999998 × 6371000     		dr = 4811.76145999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50007774-0.50084473) × cos(0.17549989) × R
    0.000766989999999912 × 0.984639380954996 × 6371000     		do = 4811.43372810579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50007774-0.50084473) × cos(0.17474463) × R
    0.000766989999999912 × 0.98477096879065 × 6371000     		du = 4812.07673118176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17549989)-sin(0.17474463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984639380954996-0.98477096879065)×R²
    abs(0.50084473-0.50007774)×0.000131587835653812×R²
    0.000766989999999912×0.000131587835653812×6371000²
    0.000766989999999912×0.000131587835653812×40589641000000     		ar = 23153019.4695271m²