Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4748 / 3852
↖ ↑ ↗
← N 10.660608°
E 28.652344°		 ← 4 802.15 m → N 10.660608°
E 28.696289°		 →
↑
4 802.52 m
↓
↑
4 802.52 m
↓
N 10.617418°
E 28.652344°		 ← 4 802.83 m →
23 064 089 m²		 N 10.617418°
E 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57965087890625 y=0.47027587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57965087890625 × 213)
    floor (0.57965087890625 × 8192)
    floor (4748.5)     		tx = 4748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47027587890625 × 213)
    floor (0.47027587890625 × 8192)
    floor (3852.5)     		ty = 3852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4748 / 3852 ti = "13/4748/3852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4748/3852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4748 ÷ 213
    4748 ÷ 8192     		x = 0.57958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3852 ÷ 213
    3852 ÷ 8192     		y = 0.47021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57958984375 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47021484375 × 2 - 1) × π
    0.0595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.187145656116699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50007774} λ = 0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.187145656116699))-π/2
    2×atan(1.20580290482819)-π/2
    2×0.878429517922343-π/2
    1.75685903584469-1.57079632675     		φ = 0.18606271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18606271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.660608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4748 KachelY 3852 0.50007774 0.18606271 28.652344 10.660608
    Oben rechts KachelX + 1 4749 KachelY 3852 0.50084473 0.18606271 28.696289 10.660608
    Unten links KachelX 4748 KachelY + 1 3853 0.50007774 0.18530890 28.652344 10.617418
    Unten rechts KachelX + 1 4749 KachelY + 1 3853 0.50084473 0.18530890 28.696289 10.617418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18606271-0.18530890) × R
    0.000753809999999994 × 6371000     		dl = 4802.52350999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18606271-0.18530890) × R
    0.000753809999999994 × 6371000     		dr = 4802.52350999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50007774-0.50084473) × cos(0.18606271) × R
    0.000766989999999912 × 0.982740213805655 × 6371000     		do = 4802.15346057395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50007774-0.50084473) × cos(0.18530890) × R
    0.000766989999999912 × 0.982879382651428 × 6371000     		du = 4802.833508205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18606271)-sin(0.18530890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982740213805655-0.982879382651428)×R²
    abs(0.50084473-0.50007774)×0.000139168845773252×R²
    0.000766989999999912×0.000139168845773252×6371000²
    0.000766989999999912×0.000139168845773252×40589641000000     		ar = 23064088.9575437m²