Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4748 / 3851
↖ ↑ ↗
← N 10.703792°
E 28.652344°		 ← 4 801.47 m → N 10.703792°
E 28.696289°		 →
↑
4 801.82 m
↓
↑
4 801.82 m
↓
N 10.660608°
E 28.652344°		 ← 4 802.15 m →
23 057 452 m²		 N 10.660608°
E 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57965087890625 y=0.47015380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57965087890625 × 213)
    floor (0.57965087890625 × 8192)
    floor (4748.5)     		tx = 4748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47015380859375 × 213)
    floor (0.47015380859375 × 8192)
    floor (3851.5)     		ty = 3851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4748 / 3851 ti = "13/4748/3851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4748/3851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4748 ÷ 213
    4748 ÷ 8192     		x = 0.57958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3851 ÷ 213
    3851 ÷ 8192     		y = 0.4700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57958984375 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4700927734375 × 2 - 1) × π
    0.059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.18791264651062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50007774} λ = 0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.18791264651062))-π/2
    2×atan(1.20672809883526)-π/2
    2×0.878806367303064-π/2
    1.75761273460613-1.57079632675     		φ = 0.18681641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18681641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.703792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4748 KachelY 3851 0.50007774 0.18681641 28.652344 10.703792
    Oben rechts KachelX + 1 4749 KachelY 3851 0.50084473 0.18681641 28.696289 10.703792
    Unten links KachelX 4748 KachelY + 1 3852 0.50007774 0.18606271 28.652344 10.660608
    Unten rechts KachelX + 1 4749 KachelY + 1 3852 0.50084473 0.18606271 28.696289 10.660608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18681641-0.18606271) × R
    0.000753699999999996 × 6371000     		dl = 4801.82269999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18681641-0.18606271) × R
    0.000753699999999996 × 6371000     		dr = 4801.82269999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50007774-0.50084473) × cos(0.18681641) × R
    0.000766989999999912 × 0.982600506968399 × 6371000     		do = 4801.47078405113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50007774-0.50084473) × cos(0.18606271) × R
    0.000766989999999912 × 0.982740213805655 × 6371000     		du = 4802.15346057395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18681641)-sin(0.18606271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982600506968399-0.982740213805655)×R²
    abs(0.50084473-0.50007774)×0.000139706837256171×R²
    0.000766989999999912×0.000139706837256171×6371000²
    0.000766989999999912×0.000139706837256171×40589641000000     		ar = 23057451.5415637m²