Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4748 / 3400
↖ ↑ ↗
← N 29.228890°
E 28.652344°		 ← 4 264.33 m → N 29.228890°
E 28.696289°		 →
↑
4 265.13 m
↓
↑
4 265.13 m
↓
N 29.190533°
E 28.652344°		 ← 4 265.92 m →
18 191 305 m²		 N 29.190533°
E 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57965087890625 y=0.41510009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57965087890625 × 213)
    floor (0.57965087890625 × 8192)
    floor (4748.5)     		tx = 4748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41510009765625 × 213)
    floor (0.41510009765625 × 8192)
    floor (3400.5)     		ty = 3400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4748 / 3400 ti = "13/4748/3400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4748/3400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4748 ÷ 213
    4748 ÷ 8192     		x = 0.57958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3400 ÷ 213
    3400 ÷ 8192     		y = 0.4150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57958984375 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4150390625 × 2 - 1) × π
    0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50007774} λ = 0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533825314168945))-π/2
    2×atan(1.70544370457828)-π/2
    2×1.04046834725591-π/2
    2.08093669451182-1.57079632675     		φ = 0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4748 KachelY 3400 0.50007774 0.51014037 28.652344 29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 4749 KachelY 3400 0.50084473 0.51014037 28.696289 29.228890
    Unten links KachelX 4748 KachelY + 1 3401 0.50007774 0.50947091 28.652344 29.190533
    Unten rechts KachelX + 1 4749 KachelY + 1 3401 0.50084473 0.50947091 28.696289 29.190533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51014037-0.50947091) × R
    0.000669460000000011 × 6371000     		dl = 4265.12966000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51014037-0.50947091) × R
    0.000669460000000011 × 6371000     		dr = 4265.12966000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50007774-0.50084473) × cos(0.51014037) × R
    0.000766989999999912 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 4264.32528937759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50007774-0.50084473) × cos(0.50947091) × R
    0.000766989999999912 × 0.873002675176854 × 6371000     		du = 4265.92171440326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51014037)-sin(0.50947091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.873002675176854)×R²
    abs(0.50084473-0.50007774)×0.000326701569186572×R²
    0.000766989999999912×0.000326701569186572×6371000²
    0.000766989999999912×0.000326701569186572×40589641000000     		ar = 18191305.4308852m²