Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4747 / 3402
↖ ↑ ↗
← N 29.152161°
E 28.608399°		 ← 4 267.52 m → N 29.152161°
E 28.652344°		 →
↑
4 268.32 m
↓
↑
4 268.32 m
↓
N 29.113775°
E 28.608399°		 ← 4 269.11 m →
18 218 509 m²		 N 29.113775°
E 28.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57952880859375 y=0.41534423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57952880859375 × 213)
    floor (0.57952880859375 × 8192)
    floor (4747.5)     		tx = 4747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41534423828125 × 213)
    floor (0.41534423828125 × 8192)
    floor (3402.5)     		ty = 3402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4747 / 3402 ti = "13/4747/3402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4747/3402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4747 ÷ 213
    4747 ÷ 8192     		x = 0.5794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3402 ÷ 213
    3402 ÷ 8192     		y = 0.415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5794677734375 × 2 - 1) × π
    0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415283203125 × 2 - 1) × π
    0.16943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.532291333381104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49931075} λ = 0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532291333381104))-π/2
    2×atan(1.70282959221239)-π/2
    2×1.03979876262397-π/2
    2.07959752524794-1.57079632675     		φ = 0.50880120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50880120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.152161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4747 KachelY 3402 0.49931075 0.50880120 28.608399 29.152161
    Oben rechts KachelX + 1 4748 KachelY 3402 0.50007774 0.50880120 28.652344 29.152161
    Unten links KachelX 4747 KachelY + 1 3403 0.49931075 0.50813124 28.608399 29.113775
    Unten rechts KachelX + 1 4748 KachelY + 1 3403 0.50007774 0.50813124 28.652344 29.113775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50880120-0.50813124) × R
    0.000669959999999969 × 6371000     		dl = 4268.31515999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50880120-0.50813124) × R
    0.000669959999999969 × 6371000     		dr = 4268.31515999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49931075-0.50007774) × cos(0.50880120) × R
    0.000766990000000023 × 0.873329107269294 × 6371000     		do = 4267.51682263322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49931075-0.50007774) × cos(0.50813124) × R
    0.000766990000000023 × 0.873655269300004 × 6371000     		du = 4269.11061120774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50880120)-sin(0.50813124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873329107269294-0.873655269300004)×R²
    abs(0.50007774-0.49931075)×0.000326162030709565×R²
    0.000766990000000023×0.000326162030709565×6371000²
    0.000766990000000023×0.000326162030709565×40589641000000     		ar = 18218508.8270106m²