Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4746 / 3401
↖ ↑ ↗
← N 29.190533°
E 28.564453°		 ← 4 265.92 m → N 29.190533°
E 28.608399°		 →
↑
4 266.72 m
↓
↑
4 266.72 m
↓
N 29.152161°
E 28.564453°		 ← 4 267.52 m →
18 204 907 m²		 N 29.152161°
E 28.608399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57940673828125 y=0.41522216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57940673828125 × 213)
    floor (0.57940673828125 × 8192)
    floor (4746.5)     		tx = 4746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41522216796875 × 213)
    floor (0.41522216796875 × 8192)
    floor (3401.5)     		ty = 3401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4746 / 3401 ti = "13/4746/3401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4746/3401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4746 ÷ 213
    4746 ÷ 8192     		x = 0.579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3401 ÷ 213
    3401 ÷ 8192     		y = 0.4151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579345703125 × 2 - 1) × π
    0.15869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49854376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4151611328125 × 2 - 1) × π
    0.169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.533058323775024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49854376} λ = 0.49854376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533058323775024))-π/2
    2×atan(1.70413614714559)-π/2
    2×1.04013361755832-π/2
    2.08026723511664-1.57079632675     		φ = 0.50947091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49854376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.564453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50947091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.190533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4746 KachelY 3401 0.49854376 0.50947091 28.564453 29.190533
    Oben rechts KachelX + 1 4747 KachelY 3401 0.49931075 0.50947091 28.608399 29.190533
    Unten links KachelX 4746 KachelY + 1 3402 0.49854376 0.50880120 28.564453 29.152161
    Unten rechts KachelX + 1 4747 KachelY + 1 3402 0.49931075 0.50880120 28.608399 29.152161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50947091-0.50880120) × R
    0.000669710000000046 × 6371000     		dl = 4266.72241000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50947091-0.50880120) × R
    0.000669710000000046 × 6371000     		dr = 4266.72241000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49854376-0.49931075) × cos(0.50947091) × R
    0.000766990000000023 × 0.873002675176854 × 6371000     		do = 4265.92171440387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49854376-0.49931075) × cos(0.50880120) × R
    0.000766990000000023 × 0.873329107269294 × 6371000     		du = 4267.51682263322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50947091)-sin(0.50880120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873002675176854-0.873329107269294)×R²
    abs(0.49931075-0.49854376)×0.000326432092440321×R²
    0.000766990000000023×0.000326432092440321×6371000²
    0.000766990000000023×0.000326432092440321×40589641000000     		ar = 18204907.4005942m²