Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4746 / 3397
↖ ↑ ↗
← N 29.343875°
E 28.564453°		 ← 4 259.53 m → N 29.343875°
E 28.608399°		 →
↑
4 260.35 m
↓
↑
4 260.35 m
↓
N 29.305561°
E 28.564453°		 ← 4 261.13 m →
18 150 497 m²		 N 29.305561°
E 28.608399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57940673828125 y=0.41473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57940673828125 × 213)
    floor (0.57940673828125 × 8192)
    floor (4746.5)     		tx = 4746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41473388671875 × 213)
    floor (0.41473388671875 × 8192)
    floor (3397.5)     		ty = 3397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4746 / 3397 ti = "13/4746/3397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4746/3397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4746 ÷ 213
    4746 ÷ 8192     		x = 0.579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3397 ÷ 213
    3397 ÷ 8192     		y = 0.4146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579345703125 × 2 - 1) × π
    0.15869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49854376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4146728515625 × 2 - 1) × π
    0.170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.536126285350708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49854376} λ = 0.49854376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536126285350708))-π/2
    2×atan(1.70937239956825)-π/2
    2×1.04147178389817-π/2
    2.08294356779635-1.57079632675     		φ = 0.51214724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49854376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.564453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51214724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.343875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4746 KachelY 3397 0.49854376 0.51214724 28.564453 29.343875
    Oben rechts KachelX + 1 4747 KachelY 3397 0.49931075 0.51214724 28.608399 29.343875
    Unten links KachelX 4746 KachelY + 1 3398 0.49854376 0.51147853 28.564453 29.305561
    Unten rechts KachelX + 1 4747 KachelY + 1 3398 0.49931075 0.51147853 28.608399 29.305561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51214724-0.51147853) × R
    0.000668710000000017 × 6371000     		dl = 4260.35141000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51214724-0.51147853) × R
    0.000668710000000017 × 6371000     		dr = 4260.35141000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49854376-0.49931075) × cos(0.51214724) × R
    0.000766990000000023 × 0.87169426278523 × 6371000     		do = 4259.52816603165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49854376-0.49931075) × cos(0.51147853) × R
    0.000766990000000023 × 0.872021769272083 × 6371000     		du = 4261.12852428209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51214724)-sin(0.51147853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87169426278523-0.872021769272083)×R²
    abs(0.49931075-0.49854376)×0.000327506486852425×R²
    0.000766990000000023×0.000327506486852425×6371000²
    0.000766990000000023×0.000327506486852425×40589641000000     		ar = 18150496.5487203m²