Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4745 / 3865
↖ ↑ ↗
← N 10.098670°
E 28.520508°		 ← 4 810.79 m → N 10.098670°
E 28.564453°		 →
↑
4 811.06 m
↓
↑
4 811.06 m
↓
N 10.055403°
E 28.520508°		 ← 4 811.43 m →
23 146 547 m²		 N 10.055403°
E 28.564453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57928466796875 y=0.47186279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57928466796875 × 213)
    floor (0.57928466796875 × 8192)
    floor (4745.5)     		tx = 4745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47186279296875 × 213)
    floor (0.47186279296875 × 8192)
    floor (3865.5)     		ty = 3865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4745 / 3865 ti = "13/4745/3865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4745/3865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4745 ÷ 213
    4745 ÷ 8192     		x = 0.5792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3865 ÷ 213
    3865 ÷ 8192     		y = 0.4718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5792236328125 × 2 - 1) × π
    0.158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49777677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4718017578125 × 2 - 1) × π
    0.056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.177174780995728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49777677} λ = 0.49777677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177174780995728))-π/2
    2×atan(1.19383973539095)-π/2
    2×0.873525685233607-π/2
    1.74705137046721-1.57079632675     		φ = 0.17625504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49777677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.520508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17625504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.098670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4745 KachelY 3865 0.49777677 0.17625504 28.520508 10.098670
    Oben rechts KachelX + 1 4746 KachelY 3865 0.49854376 0.17625504 28.564453 10.098670
    Unten links KachelX 4745 KachelY + 1 3866 0.49777677 0.17549989 28.520508 10.055403
    Unten rechts KachelX + 1 4746 KachelY + 1 3866 0.49854376 0.17549989 28.564453 10.055403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17625504-0.17549989) × R
    0.00075515000000001 × 6371000     		dl = 4811.06065000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17625504-0.17549989) × R
    0.00075515000000001 × 6371000     		dr = 4811.06065000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49777677-0.49854376) × cos(0.17625504) × R
    0.000766990000000023 × 0.984507250751501 × 6371000     		do = 4810.7880747537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49777677-0.49854376) × cos(0.17549989) × R
    0.000766990000000023 × 0.984639380954996 × 6371000     		du = 4811.43372810649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17625504)-sin(0.17549989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984507250751501-0.984639380954996)×R²
    abs(0.49854376-0.49777677)×0.000132130203494563×R²
    0.000766990000000023×0.000132130203494563×6371000²
    0.000766990000000023×0.000132130203494563×40589641000000     		ar = 23146547.4406033m²