Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4745 / 3532
↖ ↑ ↗
← N 80.275684°
W127.869873°		 ← 206.34 m → N 80.275684°
W127.858887°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
N 80.273828°
W127.869873°		 ← 206.38 m →
42 585 m²		 N 80.273828°
W127.858887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144821166992188 y=0.107803344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144821166992188 × 215)
    floor (0.144821166992188 × 32768)
    floor (4745.5)     		tx = 4745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107803344726562 × 215)
    floor (0.107803344726562 × 32768)
    floor (3532.5)     		ty = 3532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4745 / 3532 ti = "15/4745/3532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4745/3532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4745 ÷ 215
    4745 ÷ 32768     		x = 0.144805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3532 ÷ 215
    3532 ÷ 32768     		y = 0.1077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.71038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23175030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1077880859375 × 2 - 1) × π
    0.784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46434013566785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23175030} λ = -2.23175030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46434013566785))-π/2
    2×atan(11.7557224101563)-π/2
    2×1.48593566337404-π/2
    2.97187132674808-1.57079632675     		φ = 1.40107500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23175030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.869873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40107500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.275684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4745 KachelY 3532 -2.23175030 1.40107500 -127.869873 80.275684
    Oben rechts KachelX + 1 4746 KachelY 3532 -2.23155855 1.40107500 -127.858887 80.275684
    Unten links KachelX 4745 KachelY + 1 3533 -2.23175030 1.40104261 -127.869873 80.273828
    Unten rechts KachelX + 1 4746 KachelY + 1 3533 -2.23155855 1.40104261 -127.858887 80.273828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40107500-1.40104261) × R
    3.23900000001043e-05 × 6371000     		dl = 206.356690000664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40107500-1.40104261) × R
    3.23900000001043e-05 × 6371000     		dr = 206.356690000664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23175030--2.23155855) × cos(1.40107500) × R
    0.000191749999999935 × 0.16890768643541 × 6371000     		do = 206.344259376119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23175030--2.23155855) × cos(1.40104261) × R
    0.000191749999999935 × 0.168939610963241 × 6371000     		du = 206.383259632356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40107500)-sin(1.40104261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16890768643541-0.168939610963241)×R²
    abs(-2.23155855--2.23175030)×3.19245278315727e-05×R²
    0.000191749999999935×3.19245278315727e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.19245278315727e-05×40589641000000     		ar = 42584.5423515981m²