Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47448 / 56727
↖ ↑ ↗
← N 23.506071°
W 49.680176°		 ← 280.08 m → N 23.506071°
W 49.677429°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
N 23.503552°
W 49.680176°		 ← 280.09 m →
78 443 m²		 N 23.503552°
W 49.677429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362003326416016 y=0.432796478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362003326416016 × 217)
    floor (0.362003326416016 × 131072)
    floor (47448.5)     		tx = 47448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432796478271484 × 217)
    floor (0.432796478271484 × 131072)
    floor (56727.5)     		ty = 56727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47448 / 56727 ti = "17/47448/56727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47448/56727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47448 ÷ 217
    47448 ÷ 131072     		x = 0.36199951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56727 ÷ 217
    56727 ÷ 131072     		y = 0.432792663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.2760009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86708264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432792663574219 × 2 - 1) × π
    0.134414672851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.422276148753075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86708264} λ = -0.86708264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422276148753075))-π/2
    2×atan(1.5254297120383)-π/2
    2×0.990527326359353-π/2
    1.98105465271871-1.57079632675     		φ = 0.41025833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86708264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41025833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.506071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47448 KachelY 56727 -0.86708264 0.41025833 -49.680176 23.506071
    Oben rechts KachelX + 1 47449 KachelY 56727 -0.86703470 0.41025833 -49.677429 23.506071
    Unten links KachelX 47448 KachelY + 1 56728 -0.86708264 0.41021437 -49.680176 23.503552
    Unten rechts KachelX + 1 47449 KachelY + 1 56728 -0.86703470 0.41021437 -49.677429 23.503552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41025833-0.41021437) × R
    4.39600000000095e-05 × 6371000     		dl = 280.069160000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41025833-0.41021437) × R
    4.39600000000095e-05 × 6371000     		dr = 280.069160000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86708264--0.86703470) × cos(0.41025833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917017819468304 × 6371000     		do = 280.080846104109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86708264--0.86703470) × cos(0.41021437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917035351862707 × 6371000     		du = 280.086200948644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41025833)-sin(0.41021437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917017819468304-0.917035351862707)×R²
    abs(-0.86703470--0.86708264)×1.75323944031636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75323944031636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75323944031636e-05×40589641000000     		ar = 78442.7571765889m²