Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47433 / 56749
↖ ↑ ↗
← N 23.450648°
W 49.721374°		 ← 280.14 m → N 23.450648°
W 49.718628°		 →
↑
280.13 m
↓
↑
280.13 m
↓
N 23.448129°
W 49.721374°		 ← 280.15 m →
78 477 m²		 N 23.448129°
W 49.718628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361888885498047 y=0.432964324951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361888885498047 × 217)
    floor (0.361888885498047 × 131072)
    floor (47433.5)     		tx = 47433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432964324951172 × 217)
    floor (0.432964324951172 × 131072)
    floor (56749.5)     		ty = 56749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47433 / 56749 ti = "17/47433/56749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47433/56749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47433 ÷ 217
    47433 ÷ 131072     		x = 0.361885070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56749 ÷ 217
    56749 ÷ 131072     		y = 0.432960510253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361885070800781 × 2 - 1) × π
    -0.276229858398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.86780169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432960510253906 × 2 - 1) × π
    0.134078979492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.421221536961433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86780169} λ = -0.86780169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421221536961433))-π/2
    2×atan(1.5238218238746)-π/2
    2×0.990043675819783-π/2
    1.98008735163957-1.57079632675     		φ = 0.40929102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86780169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.721374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40929102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.450648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47433 KachelY 56749 -0.86780169 0.40929102 -49.721374 23.450648
    Oben rechts KachelX + 1 47434 KachelY 56749 -0.86775376 0.40929102 -49.718628 23.450648
    Unten links KachelX 47433 KachelY + 1 56750 -0.86780169 0.40924705 -49.721374 23.448129
    Unten rechts KachelX + 1 47434 KachelY + 1 56750 -0.86775376 0.40924705 -49.718628 23.448129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40929102-0.40924705) × R
    4.39700000000043e-05 × 6371000     		dl = 280.132870000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40929102-0.40924705) × R
    4.39700000000043e-05 × 6371000     		dr = 280.132870000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86780169--0.86775376) × cos(0.40929102) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.917403198337692 × 6371000     		do = 280.140102972413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86780169--0.86775376) × cos(0.40924705) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.917420695708412 × 6371000     		du = 280.145446005056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40929102)-sin(0.40924705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917403198337692-0.917420695708412)×R²
    abs(-0.86775376--0.86780169)×1.74973707199877e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.74973707199877e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.74973707199877e-05×40589641000000     		ar = 78477.1994399141m²