Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4743 / 2697
↖ ↑ ↗
← N 81.708942°
W127.891845°		 ← 176.15 m → N 81.708942°
W127.880860°		 →
↑
176.16 m
↓
↑
176.16 m
↓
N 81.707357°
W127.891845°		 ← 176.19 m →
31 034 m²		 N 81.707357°
W127.880860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144760131835938 y=0.0823211669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144760131835938 × 215)
    floor (0.144760131835938 × 32768)
    floor (4743.5)     		tx = 4743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0823211669921875 × 215)
    floor (0.0823211669921875 × 32768)
    floor (2697.5)     		ty = 2697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4743 / 2697 ti = "15/4743/2697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4743/2697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4743 ÷ 215
    4743 ÷ 32768     		x = 0.144744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2697 ÷ 215
    2697 ÷ 32768     		y = 0.082305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.71051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23213379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082305908203125 × 2 - 1) × π
    0.83538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62444938039883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23213379} λ = -2.23213379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62444938039883))-π/2
    2×atan(13.7969752091993)-π/2
    2×1.49844319260775-π/2
    2.99688638521551-1.57079632675     		φ = 1.42609006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23213379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.891845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42609006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.708942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4743 KachelY 2697 -2.23213379 1.42609006 -127.891845 81.708942
    Oben rechts KachelX + 1 4744 KachelY 2697 -2.23194205 1.42609006 -127.880860 81.708942
    Unten links KachelX 4743 KachelY + 1 2698 -2.23213379 1.42606241 -127.891845 81.707357
    Unten rechts KachelX + 1 4744 KachelY + 1 2698 -2.23194205 1.42606241 -127.880860 81.707357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42609006-1.42606241) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dl = 176.158150000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42609006-1.42606241) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dr = 176.158150000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23213379--2.23194205) × cos(1.42609006) × R
    0.000191739999999996 × 0.14420177274016 × 6371000     		do = 176.153358404015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23213379--2.23194205) × cos(1.42606241) × R
    0.000191739999999996 × 0.144229133695678 × 6371000     		du = 176.186781878027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42609006)-sin(1.42606241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14420177274016-0.144229133695678)×R²
    abs(-2.23194205--2.23213379)×2.73609555183629e-05×R²
    0.000191739999999996×2.73609555183629e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.73609555183629e-05×40589641000000     		ar = 31033.7936431899m²