Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4742 / 2696
↖ ↑ ↗
← N 81.710526°
W127.902832°		 ← 176.13 m → N 81.710526°
W127.891845°		 →
↑
176.16 m
↓
↑
176.16 m
↓
N 81.708942°
W127.902832°		 ← 176.16 m →
31 030 m²		 N 81.708942°
W127.891845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144729614257812 y=0.0822906494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144729614257812 × 215)
    floor (0.144729614257812 × 32768)
    floor (4742.5)     		tx = 4742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0822906494140625 × 215)
    floor (0.0822906494140625 × 32768)
    floor (2696.5)     		ty = 2696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4742 / 2696 ti = "15/4742/2696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4742/2696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4742 ÷ 215
    4742 ÷ 32768     		x = 0.14471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2696 ÷ 215
    2696 ÷ 32768     		y = 0.082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.7105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23232554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082275390625 × 2 - 1) × π
    0.83544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62464112799731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23232554} λ = -2.23232554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62464112799731))-π/2
    2×atan(13.7996209997158)-π/2
    2×1.49845701646818-π/2
    2.99691403293635-1.57079632675     		φ = 1.42611771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23232554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.902832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42611771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.710526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4742 KachelY 2696 -2.23232554 1.42611771 -127.902832 81.710526
    Oben rechts KachelX + 1 4743 KachelY 2696 -2.23213379 1.42611771 -127.891845 81.710526
    Unten links KachelX 4742 KachelY + 1 2697 -2.23232554 1.42609006 -127.902832 81.708942
    Unten rechts KachelX + 1 4743 KachelY + 1 2697 -2.23213379 1.42609006 -127.891845 81.708942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42611771-1.42609006) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dl = 176.158150000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42611771-1.42609006) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dr = 176.158150000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23232554--2.23213379) × cos(1.42611771) × R
    0.000191750000000379 × 0.144174411674396 × 6371000     		do = 176.129120147449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23232554--2.23213379) × cos(1.42609006) × R
    0.000191750000000379 × 0.14420177274016 × 6371000     		du = 176.162545499308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42611771)-sin(1.42609006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144174411674396-0.14420177274016)×R²
    abs(-2.23213379--2.23232554)×2.73610657638979e-05×R²
    0.000191750000000379×2.73610657638979e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.73610657638979e-05×40589641000000     		ar = 31029.5240429864m²