Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4742 / 2694
↖ ↑ ↗
← N 81.713693°
W127.902832°		 ← 176.06 m → N 81.713693°
W127.891845°		 →
↑
176.09 m
↓
↑
176.09 m
↓
N 81.712110°
W127.902832°		 ← 176.10 m →
31 007 m²		 N 81.712110°
W127.891845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144729614257812 y=0.0822296142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144729614257812 × 215)
    floor (0.144729614257812 × 32768)
    floor (4742.5)     		tx = 4742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0822296142578125 × 215)
    floor (0.0822296142578125 × 32768)
    floor (2694.5)     		ty = 2694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4742 / 2694 ti = "15/4742/2694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4742/2694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4742 ÷ 215
    4742 ÷ 32768     		x = 0.14471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2694 ÷ 215
    2694 ÷ 32768     		y = 0.08221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.7105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23232554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08221435546875 × 2 - 1) × π
    0.8355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62502462319428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23232554} λ = -2.23232554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62502462319428))-π/2
    2×atan(13.8049141029641)-π/2
    2×1.49848465632126-π/2
    2.99696931264252-1.57079632675     		φ = 1.42617299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23232554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.902832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42617299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.713693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4742 KachelY 2694 -2.23232554 1.42617299 -127.902832 81.713693
    Oben rechts KachelX + 1 4743 KachelY 2694 -2.23213379 1.42617299 -127.891845 81.713693
    Unten links KachelX 4742 KachelY + 1 2695 -2.23232554 1.42614535 -127.902832 81.712110
    Unten rechts KachelX + 1 4743 KachelY + 1 2695 -2.23213379 1.42614535 -127.891845 81.712110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42617299-1.42614535) × R
    2.76399999998844e-05 × 6371000     		dl = 176.094439999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42617299-1.42614535) × R
    2.76399999998844e-05 × 6371000     		dr = 176.094439999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23232554--2.23213379) × cos(1.42617299) × R
    0.000191750000000379 × 0.144119709003421 × 6371000     		do = 176.062293217506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23232554--2.23213379) × cos(1.42614535) × R
    0.000191750000000379 × 0.14414706039397 × 6371000     		du = 176.095706749743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42617299)-sin(1.42614535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144119709003421-0.14414706039397)×R²
    abs(-2.23213379--2.23232554)×2.73513905495182e-05×R²
    0.000191750000000379×2.73513905495182e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.73513905495182e-05×40589641000000     		ar = 31006.5329002336m²