Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4741 / 3868
↖ ↑ ↗
← N  9.968851°
E 28.344726°		 ← 4 812.72 m → N  9.968851°
E 28.388672°		 →
↑
4 813.04 m
↓
↑
4 813.04 m
↓
N  9.925566°
E 28.344726°		 ← 4 813.35 m →
23 165 315 m²		 N  9.925566°
E 28.388672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57879638671875 y=0.47222900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57879638671875 × 213)
    floor (0.57879638671875 × 8192)
    floor (4741.5)     		tx = 4741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47222900390625 × 213)
    floor (0.47222900390625 × 8192)
    floor (3868.5)     		ty = 3868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4741 / 3868 ti = "13/4741/3868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4741/3868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4741 ÷ 213
    4741 ÷ 8192     		x = 0.5787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3868 ÷ 213
    3868 ÷ 8192     		y = 0.47216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5787353515625 × 2 - 1) × π
    0.157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49470880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    0.0556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.174873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49470880} λ = 0.49470880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.174873809813965))-π/2
    2×atan(1.19109590251495)-π/2
    2×0.872392796274272-π/2
    1.74478559254854-1.57079632675     		φ = 0.17398927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49470880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.344726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17398927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.968851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4741 KachelY 3868 0.49470880 0.17398927 28.344726 9.968851
    Oben rechts KachelX + 1 4742 KachelY 3868 0.49547579 0.17398927 28.388672 9.968851
    Unten links KachelX 4741 KachelY + 1 3869 0.49470880 0.17323381 28.344726 9.925566
    Unten rechts KachelX + 1 4742 KachelY + 1 3869 0.49547579 0.17323381 28.388672 9.925566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17398927-0.17323381) × R
    0.000755460000000013 × 6371000     		dl = 4813.03566000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17398927-0.17323381) × R
    0.000755460000000013 × 6371000     		dr = 4813.03566000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49470880-0.49547579) × cos(0.17398927) × R
    0.000766990000000023 × 0.984902012206852 × 6371000     		do = 4812.71707395642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49470880-0.49547579) × cos(0.17323381) × R
    0.000766990000000023 × 0.985032510905661 × 6371000     		du = 4813.35475497251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17398927)-sin(0.17323381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984902012206852-0.985032510905661)×R²
    abs(0.49547579-0.49470880)×0.00013049869880899×R²
    0.000766990000000023×0.00013049869880899×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013049869880899×40589641000000     		ar = 23165314.5909203m²